1 专题 9《费马点》破解策略费马点 是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，这个最小的距离叫做费马距离．若三角形的内角均小于120° ，那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在的周角；若三角形内有一个内角大于等于120° ，则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和最小的点．1. 若三角形有一个内角大于等于120° ，则此钝角的顶点即为该三角形的费马点如图在△ ABC中，∠ BAC≥120° ，求证：点A 为△ ABC的费马点证明：如图， 在△ ABC内有一点 P延长 BA至 C，使得 AC＝AC，作∠ CAP＝ ∠CAP，并且使得 AP＝AP，连结 PP则△ APC≌△ APC，PC＝PC因为∠ BAC≥120°所以∠ PAP＝∠ CAC≤60 所以在等腰△ PAP中， AP≥PP所以 PA＋PB＋PC≥PP＋PB＋ PC＞BC＝AB＋ AC所以点 A 为△ ABC的费马点2. 若三角形的内角均小于120° ，则以三角形的任意两边向外作等边三角形，两个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点．2 如图， 在△ ABC中三个内角均小于120° ， 分别以 AB、AC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点为O，求证：点O为△ ABC的费马点证明：在△ ABC内部任意取一点O，；连接 OA、OB、OC将△ AOC绕着点 A逆时针旋转60° ，得到△ AO′D连接 OO′则 O′D＝OC所以△ AOO′为等边三角形，OO′＝AO所以 OA＋OC＋OB＝OO′＋OB＋O′D则当点 B、O、O′、D四点共线时， OA＋OB＋OC最小此时 ABAC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点即为点O如图，在△ ABC中，若∠ BAC、∠ ABC、∠ ACB均小于 120° ， O为费马点，则有∠AOB＝∠ BOC＝∠ COA＝120° ，所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心3 例 1 如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为 （－ 6，0），点 B 的坐标为 （6，0），点 C的坐标为（ 6，34），延长 AC至点 D使得 CD＝AC，过点 DE作 DE// AB，交 BC的延长线于点 E，设 G为 y 轴上的一点，点P 从直线 y＝3 x＋36与 y 轴的交点 M出发，先沿y 轴到达点 G，再沿 GA到达点 A，若点 P 在 y 轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定点G的位置，使点P按照上述要求到达A 所用的时间最短解： t ＝vGMvvGM22GAGA2∴当 2GA＋GM最小时，时间最短如图，假设在OM上存在一点G，则 BG＝AG∴MG＋2AG＝MG＋AG＋ BG把△ MGB绕点 B顺时针旋转...
