第十四编 系列 4 选讲§14.1 几何证明选讲基础自测1.如图所示，已知在△ABC 中，∠C=90°，正方形 DEFC内接于△ABC，DE∥AC，EF∥BC，AC=1，BC=2，则 AF∶FC= .答案 212.从不在⊙O 上的一点 A 作直线交⊙O 于 B、C，且 AB·AC=64，OA=10，则⊙O 的半径等于 .答案 241 或 63.设 P 为△ABC 内一点，且 AP = 52AB + 51AC ，则△ABP 的面积与△ABC 的面积之比等于 .答案 514.如图所示，AC 为⊙O 的直径，BD⊥AC 于 P，PC=2，PA=8，则 CD 的长为 ，cos∠ACB= .答案 25 555.如图所示，PA 与圆 O 相切于 A，PCB 为圆 O 的割线，并且不过圆心O，已知∠BPA=30°，PA=23 ，PC=1，则圆 O 的半径等于 .答案 7例 1 已知：如图所示，以梯形 ABCD 的对角线 AC 及腰 AD 为邻边作平行四边形 ACED，连接 EB，DC 的延长线交 BE 于 F.求证：EF=BF.证明 连接 AE 交 DC 于 O. 四边形 ACED 为平行四边形，∴O 是 AE 的中点（平行四边形对角线互相平分）. 四边形 ABCD 是梯形，∴DC∥AB.在△EAB 中，OF∥AB，O 是 AE 的中点，∴F 是 EB 的中点，即 EF=BF.例 2 如图所示，在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，F 为 AB上任意一点，CF 交 AD 于点 E.求证：AE·BF=2DE·AF.证明 过点 D 作 AB 的平行线 DM 交 AC 于点 M，交 FC 于点 N.在△BCF 中，D 是 BC 的中点，DN∥BF，∴DN= 21BF. DN∥AF，∴△AFE∽△DNE，∴ AFAE= DNDE.又 DN= 21BF，∴ AFAE= BFDE2，即 AE·BF=2DE·AF.例 3 （2008·苏、锡、常、镇三检）自圆 O 外一点 P 引切线与圆切于点A，M 为 PA 的中点，过 M 引割线交圆于 B，C 两点.求证：∠MCP=∠MPB.证明 PA 与圆相切于 A，∴MA2=MB·MC， M 为 PA 中点，∴PM=MA，∴PM2=MB·MC，∴ MCPM= PMMB. ∠BMP=∠PMC，∴△BMP∽△PMC，∴∠MCP=∠MPB.例 4 （14 分）如图所示，AB 是⊙O 的直径，G 为 AB 延长线上的一点，GCD 是⊙O 的割线，过点 G 作 AB 的垂线，交 AC 的延长线于点 E，交 AD 的延长线于点 F，过 G 作⊙O 的切线，切点为 H.求证：（1）C，D，F，E 四点共圆；（2）GH2=GE·GF.证明 （1）连接 BC. AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°. AG⊥FG，∴∠AGE=90°.又∠EAG=∠BAC，∴∠ABC=∠AEG.又∠FDC=∠ABC，∴∠FDC=∠AEG.∴∠FDC+∠CEF=180°.∴C，D，F，E 四点...
