平 面 向 量 的 应 用一、基本知识：1． 在阅读、理解具有实际意义的文字材料的基础上，能准确、清晰、有条理地用向量的语言表述问题．2． 能从实际问题中提炼、概括抽象出数学模型．3． 能综合运用所学向量知识及有关数学思想方法，求出数学模型的解．4． 能结合实际意义，正确表述问题的解．5． 能用向量知识简捷地处理其它数学分支相关问题．二、例题分析：例 1 某一天，一船从南岸出发，向北岸横渡．根据测量，这一天水流速度 3km/h，方向正东，风向北偏西 30º，受风力影响，静水中船的飘行速度大小也为 3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以 2km/h．的速度横渡，求船本身的速度大小及方向．分析 撇开题设情境，提炼出四个速度，即水流速度 v1，风的速度 v2，船本身的速度 v3，船的实际航行速度 v，并且有 v1＋v2＋v3=v，在这一等式中，v1、v2、v 已知，v3可求． 略解：设水的速度为 v1 ，风的速度 v2，v1＋v2=a，易求得 a 的方向是北偏东 30º，a 的大小为 3 km/h ．设船的实际航行速度 v，方向南向北，大小 2 km/h．．船本身的速度 v3，则 a+v3=v aVV3V1V2a， 即 v3=v-a ， 数形结合知，v3方向是北偏西 60º，大小为 km/h．．点评 四种速度融为一体，我们采纳分步合成，步步为营的策略．每一次合成只相当于求解了一个简单题．例 2 已知 O 为 ΔABC 所在平面内一点，满足|OA|2＋| BC|2=|CA|2＋|OB|2=|OC|2＋|AB|2．试证明 O 是 ΔABC 的垂心．分析 已知等式是关于线段长度平方和的等式，OA与BC、OB与CA、OC与AB 都不是同一个直角三角形中的线段，用纯平面几何知识证明相当困难．但 线 段 长 度 平 方 和 即 向 量 模 的 平 方 ， 要 证 O 是 ΔABC 的 垂 心 ， 只 需 证 得OA⊥BC，OB⊥CA，联想向量的数量积，只需证OA·BC=OB·CA=0．|OA|2＋| BC|2=|CA|2＋|OB|2 ，得a2＋（c－b）2=b2＋（a－c）2 ， c·b=a·c ，即（b－a）·c=0．OC·AB=0， 故 AB⊥OC．同理 CA⊥OB，BC⊥OA．故 O 是 ΔABC 的垂心．点评 向量知识的应用领域很宽泛，中学数学所涉及的平几、方程、数列、不等式等等，都可以与向量综合，求解这类问题的关键在于揭去伪装，合理转化．例 3．如图所示，对于同一高度（足够高）的两个定滑轮 A、B，用一条足够长的绳子跨过它们，并在两端分别挂有质量为 m1和 m2的物体（m1≠m2），另在两滑轮中间的一段...
