A2 整数的求解 A2－ 001 哪些连续正整数之和为1000？试求出所有的解． 【题说】 1963 年成都市赛高二二试题 3． 【解】 设这些连续正整数共n 个（n＞ 1），最小的一个数为a，则有 a＋（a＋ 1）＋„＋（a＋ n－ 1）＝1000 即 n（ 2a＋ n－ 1）＝2000 若 n 为偶数，则 2a＋ n－ 1 为奇数；若 n 为奇数，则 2a＋ n－ 1 为偶数．因 a≣ 1， 故 2a＋ n－ 1＞ n． 同，故只有n＝ 5， 16， 25，因此可能的取法只有下列三种： 若 n＝ 5，则 a＝ 198； 若 n＝ 16，则 a＝ 55； 若 n＝ 25，则 a＝ 28． 故解有三种： 198＋ 199＋ 200＋ 201＋ 202 55＋ 56＋„＋70 28＋ 29＋„＋52 A2－ 002 N 是整数，它的b 进制表示是777，求最小的正整数b，使得N 是整数的四次方． 【题说】 第九届（1977 年）加拿大数学奥林匹克题3． 【解】 设 b 为所求最小正整数，则 7b2＋ 7b＋ 7＝ x 4 素数7 应整除x，故可设x＝ 7k， k 为正整数．于是有 b2＋ b＋ 1＝ 73k4 当 k＝ 1 时， （ b－ 18）（ b＋ 19）＝0．因此b＝ 18 是满足条件的最小正整数． A2－ 003 如果比n 个连续整数的和大100 的数等于其次n 个连续数的和，求n． 【题说】 1976 年美国纽约数学竞赛题 7． s2－ s1＝ n2＝ 100 从而求得n＝ 10． A2－ 004 设 a 和 b 为正整数，当a2＋ b2 被 a＋ b 除时，商是q 而余数是r，试求出所有数对（ a， b），使得q2＋ r＝ 1977． 【题说】 第十九届（1977 年）国际数学奥林匹克题 5．本题由原联邦德国提供． 【解】 由题设a2＋b2＝q（a＋b）＋r（0≢r＜a＋b），q2＋r＝1977 ，所以 q2≢1977，从而q≢44． 若q≢43，则r＝1977－q2≣1977－432＝128． 即（a＋b）≢88，与（a＋b）＞r≣128，矛盾． 因此，只能有q＝44，r＝41，从而得 a2＋b2＝44（a＋b）＋41 （a－22）2＋（b－22）2＝1009 不妨设|a－22|≣|b－22|，则1009≣（a－22）2≣504，从而45≢a≢53． 经验算得两组解：a＝50，b＝37 及a＝50，b＝7． 由对称性，还有两组解a＝37，b＝50；a＝7，b＝50． A2－005 数1978 n 与1978 m的最后三位数相等，试求出正整数n 和m，使得m＋n 取最小值，这里n＞m≣1． 【题说】 第二十届（1978 年）国际数学奥林匹克题 1．本题由古巴提供． 【解】 由题设 1978n－1978m＝1978m（1978n－m－1）≡0（m...
