1 课程编号： MTH17063北京理工大学 2010-2011 学年第一学期2009 级数学类高等代数期末考试试题A 卷班级学号姓名成绩一、（25 分）设()n nMF 表示域 F 上的所有 n 阶矩阵构成的 F 上的线性空间。取定()n nAMF，对于任意的()n nXMF ，定义()XAXXA 。（1）证明：为()n nMF 上的一个线性变换。（2）证明：对于任意的,()n nX YMF 都有()()( )XYX YXY 。（3）当abAcd时，求在给定基1112212201101111,,,11110110FFFF下的矩阵表示。（4）当1402A时，求()Ker的一组基与维数。二、（15 分）设数域 K 上 3 维线性空间 V 的线性变换 A 在V 的一个基123,,下的矩阵为010440212A。求线性变换 A 的 Jordan标准形。三、（20 分）设 A 是域 F 上 n 维线性空间 V 上的一个线性变换，证明： （1）如果 W是 A的一维不变子空间，那么W 中任何一个非零向量都是A 的特征向量；反之，如果是 A 的一个特征向量，那么生成的子空间是 A 的一维不变子空间。（2） A可以对角化的充分必要条件是V 可以分解成 A的一维不变子空间的直和。四、（20 分）设2 2 ()VMF ，在 V 中取一个基11122122,,,EEEE。（1）求它的对偶基11122122,,,ffff，要求写出ijf 的表达式。（2）求 V 上任意一个线性函数f 的表达式。五、（20 分）证明：n 维酉空间 V 上的线性变换 A 是 Hermite 变换 A 当且仅当在 V 的任意一个标准正交基下的矩阵是Hermite 矩阵。2 课程编号： MTH17063北京理工大学 2011-2012 学年第一学期2010 级数学类高等代数III期末考试试题 A 卷班级学号姓名成绩一、（15 分）设()n nMF 为数域 F 上所有 n 阶矩阵构成的 F 上的线性空间。取定()n nAMF，对于任意的()n nXMF ，定义()XAXXA 。（1）证明：为()n nMF 上的一个线性变换。（2）证明：对于任意的,()n nX YMF 都有()()( )XYX YXY 。（3）当abAcd时，求在给定基123410111111,,,00001011下的矩阵表示。二、（15 分）设数域 F 上 4 维线性空间 V 的线性变换 A 在 V 的一个基1234,,,下的矩阵为3402452400320021A。求线性变换 A 的 Jordan标准形。三、（20 分）设 A是数域 F 上 n 维线性空间 V 上的一个线性变换，证明：A 可以对角化当且仅当 V 可以分解成 A的一维不变子空间的直和。四、（20 分）设3 3()VM? ，在 V 中取一个基( ,1,2,3)ijEi j。（1）求它的对偶基( ,1,2,3)ijfi...
