第二讲常微分方程发展简史—— 适定性理论阶段高阶方程1734 年 12 月, Bernoulli Daniel在给当时在圣彼得堡的Euler 的信中说 , 他已经解决了一端固定在墙上而另一端自由的弹性横梁的横向位移问题, 他得到了一个四阶线性常微分方程444,d ykydx其中 k 是常数 , x 是横梁上距自由端的距离, y 是在 x 点的相对于横梁为弯曲位置的垂直位移. Euler 在 1735 年 6 月前的回信中说道, 他也已经发现了这个方程, 对这个方程 , 除了用级数外无法积分 . 他确实得到了四个级数解, 这些级数代表圆函数和指数函数, 但在当时 Euler没有了解到这一点. 1739 年 9 月 , Euler 在给 Bernoulli John 的信中指出 , 上述方程的解可以表示成1[(coscosh)(sinsinh)],xxxxyakkbkk其中 b 可由条件( )0y l来确定 . 弹性问题促使Euler 考虑求解常系数一般线性方程的数学问题. 1739 年 9 月, Euler 在给Bernoulli John 的信中首次提到了常系数齐次常微分方程, 并说他已取得了成功. 在 1743 年至 1750 年间 , Euler 考虑了 $n$阶常系数齐次线性方程( )(1)11( ),nnnnya yaya yf x第一次引入了特解、通解的概念, 指出通解必包含n 个任意常数 , 而且是由 n 个特解分别乘以任意常数后相加而成的, 创立了求解 $n$阶常系数线性齐次微分方程的完整解法--特征方程法 . 讨论了特征根是单根、重根、共轭复根和复重根的情形, 这样 Euler 完整解决了常系数线性齐次方程求解问题. 1750 年至 1751 年, Euler 讨论了 n 阶常系数线性非齐次方程, 他又提出了一种降低方程阶的解法 . Euler 还是微分方程近似解的创始人, 他提出了的 ``欧拉折线法 "不仅解决了常微分方程解的存在性的证明, 而且也是常微分方程数值计算的最主要的方法之一. 1750 年, Euler 又给出了求解微分方程的级数解法. 1768 年至 1769 年 , Euler 还将积分因子法推广到高阶方程, 以及利用变换可以将变系数的Euler 方程化为常系数线性方程. 在 Euler 工作的基础上 , 1763 年 D'Alembert 给出了求非齐次线性方程通解的方法, 即非齐次方程的通解等于齐次方程的通解加上一个非齐次方程的特解. 1762 年至 1765 年间 , Lagrange J 对高阶变系数线性齐次方程的研究也迈出了一步, 并引出伴随方程(这个名字是1873 年 Fuchs Lazarus 取的 , Lagrange 并未给它取名 ), 同时发现一个定理 :...
