1 《微分几何》复习题与参考答案一、填空题1．极限232lim[(31)ijk]tttrrr138ijkrrr．2．设 f ( )(sin )ijtttrrr，2g( )(1)ijttterr，求0lim(( )( ))tf tg trr 0 ．3． 已知42 r( )d =1,2,3ttr，64 r( )d =2,1,2ttr，2,1,1ar，1, 1,0br，则4622( )( )ar t dt+ba r t dt=rrrr r3, 9,5 .4．已知( )r tarr （ ar 为常向量），则( )r trtacrr ．5．已知( )r ttarr ，（ ar 为常向量），则( )r tr212t acrr ．6. 最“贴近 ”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线 ___和密切平面 ____. 7. 曲率恒等于零的曲线是 _____ 直线____________ .8. 挠率恒等于零的曲线是 _____ 平面曲线 ________ . 9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为一般螺线 . 10. 曲线( )rr trr在 t = 2 处有3vv&，则曲线在 t = 2 处的曲率 k = 3 .11. 若在点00(,)uv处v0urrrrr，则00(,)u v为曲面的 _ 正常 ______点. 12． 已知( )(2)(ln )f tt jt krrr，( )(sin )(cos )g tt it jrrr，0t，则40()dfg dtdtrr4cos62．13．曲线3( )2 ,,tr tt ter在任意点的切向量为22,3,tte．14．曲线( )cosh , sinh ,r tat at atr在0t点的切向量为0, ,a a ．15．曲线( )cos , sin ,r tat at btr在0t点的切向量为0, ,a b ．16．设曲线2:,,ttCxeyezt ，当1t时的切线方程为2111zeeyeex．17．设曲线tttezteytex,sin,cos，当0t时的切线方程为11zyx. 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F=M=0_ ______________. 19. u－曲线（ v－曲线）的正交轨线的微分方程是_____ Edu+Fdv＝0（Fdu+Gdv＝0）__.20. 在欧拉公式2212cossinnkkk中，是方向(d) 与 u－曲线的夹角 . 21. 曲面的三个基本形式,,、高斯曲率、平均曲率之间的关系是20HK.22．已知 r( , ),,u vuv uv uvr，其中2,sinutvt ，则 drdtr2cos ,2cos ,2costtttvtut ．23．已知 r(, )coscos ,cos sin ,sinaaar，其中t ，2t ，则2 dr(, )dtrsincos2cos sin ,sinsin2cos cos ,cosaataata．24．设( , )rr u vrr为曲面的参数表示， 如果0uvrrrrr，则称参数曲面是正则的； 如果:()rGr Grr是一一对应的，则称曲面是简单曲面．25． 如果 u曲线族和 v曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为正规坐标网．26． 平面 r( , ), ,0u vu vr的第一基本形式为22dduv...
