平面向量基本定理[学习目标 ]1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后， 会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．知识点一平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：把不共线的向量e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．思考如图所示， e1，e2 是两个不共线的向量，试用 e1，e2 表示向量 AB→ ，CD→ ，EF→ ，GH→ ，HG→ ，a.答案通过观察，可得：AB→ ＝2e1＋3e2，CD→ ＝－ e1＋4e2， EF→ ＝4e1－4e2，GH→ ＝－ 2e1＋5e2， HG→ ＝2e1－5e2， a＝－ 2e1.知识点二两向量的夹角与垂直(1)夹角： 已知两个非零向量a 和 b，如图， 作OA→ ＝a，OB→ ＝ b，则∠ AOB ＝θ (0 °≤θ≤180° )，叫做向量 a 与 b 的夹角．①范围：向量a 与 b 的夹角的范围是[0 °，180° ]．②当 θ＝ 0°时， a 与 b 同向．③当 θ＝ 180°时， a 与 b 反向．(2)垂直：如果a 与 b 的夹角是 90°，则称 a 与 b 垂直，记作a⊥b.思考在等边三角形ABC 中，试写出下面向量的夹角．①AB→ 、AC→ ；② AB→ 、CA→ ；③ BA→ 、 CA→ ；④ AB→ 、BA→.答案①AB→ 与AC→ 的夹角为 60°；②AB→ 与CA→ 的夹角为120°；③BA→ 与CA→ 的夹角为60°；④AB→ 与BA→ 的夹角为 180° .题型一对向量的基底认识例 1如果 e1，e2 是平面 α 内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________．①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α 内的所有向量；②对于平面α 内任一向量a，使 a＝λe1＋ μe2 的实数对 (λ，μ)有无穷多个；③若向量 λ1e1＋μ1e2与 λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得 λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若存在实数λ，μ 使得 λe1＋μe2＝0，则 λ＝ μ＝0.答案②③解析由平面向量基本定理可知，①④ 是正确的．对于 ②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是惟一的．对于 ③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0 时，这样的λ 有无数个．跟踪训练 1设 e1、e2 是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1 与 e1＋e2；② e1－...
