419 附录 A 拉普拉斯变换及反变换1.拉氏变换的基本性质附表 A-1 拉氏变换的基本性质1 线性定理齐次性)()]([saFtafL叠加性)()()]()([2121sFsFtftfL2 微分定理一般形式11)1()1(1222)()()0()()(0)0()(])([)0()(])([kkkknkknnnndttfdtffssFsdttfdLfsfsFsdttfdLfssFdttdfL）（初始条件为零时)(])([sFsdttfdLnnn3 积分定理一般形式0200222011[( )]( )[( )][( )][( )() ]( )[( )() ]( )1[( )() ][( )() ]tttnnnntnn kkf t dtF sLf t dtssf t dtf t dtF sLf t dtsssF sLf t dtf tdtss共 个共k个初始条件为零时nnnssFdttfL)(]))(([个共4 延迟定理（或称t 域平移定理）)()](1)([sFeTtTtfLTs5 衰减定理（或称s 域平移定理）)(])([asFetfLat6 终值定理)(lim)(lim0ssFtfst420 7 初值定理)(lim)(lim0ssFtfst8 卷积定理12121200[()( )][( )()]( )( )ttLf tfdLf t ftdFs Fs2．常用函数的拉氏变换和z 变换表附表 A-2 常用函数的拉氏变换和z 变换表序号拉氏变换( )E s时间函数( )e tZ 变换( )E s1 1 δ (t) 1 2 Tse110)()(nTnTtt1zz3 s1)(1 t1zz4 21st2)1(zTz5 31s22t32)1(2)1(zzzT6 11ns!ntn)(!)1(lim0aTnnnaezzan7 as1ateaTezz8 2)(1asatte2)(aTaTezTze9 )(assaate1))(1()1(aTaTezzze10 ))((bsasabbtateebTaTezzezz421 11 22stsin2sin2 cos1zTzzT12 22sstcos2(cos)2 cos1z zTzzT13 22)(asteat sin22sin2cosaTaTaTzeTzzeTe14 22)(asasteat cos222cos2cosaTaTaTzzeTzzeTe15 aTsln)/1(1Tta/azz3． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(sF是 s 的有理真分式，即01110111)()()(asasasabsbsbsbsAsBsFnnnnmmmm（mn）式中，系数nnaaaa,,...,,110和011,,,,mmb bbb 都是实常数；nm,是正整数。按代数定理可将)(sF展开为部分分式。分以下两种情况讨论。（ 1）0)(sA无重根： 这时， F(s)可展开为 n 个简单的部分分式之和的形式，即niiinniisscsscsscsscsscsF12211)(（ F-1）式中，nsss,,,21是特征方程A(s) ＝0 的根；ic 为待定常数，称为( )F s 在is 处的留数，可按下列两式计算：lim()( )iiisscss F s（F-2）或issisAsBc)()(（F-3）式中，)(sA为)(sA对 s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数为422 niiisscLsFLtf111)()(＝1instiic e (F-4) （ 2）0)(sA有重根： 设0)(sA有 r 重根1s ，F(s)可写为)()()()(11nrrsssssssBsF=nniirrrrrrsscsscsscsscsscssc11111111)()()(式中，1s 为 F(s)的 r 重根，1rs，⋯，ns 为 F(s)的 nr 个单根；其中，1rc，⋯，nc 仍按式(F-2) 或式 (F-3)计算，rc ，1rc，⋯，1c 则按下式计算：)()(lim11sFsscrssr11lim[()( )]irrssdcssF sds)()(lim!11)()(1sFssdsdjcrjjssjr(F-5) )()(lim)!1(11)1()1(11sFssdsdrcrrrss原函数)(tf为)()(1sFLtfnniirrrrrrsscsscsscsscsscsscL111111111)()()(tsnriitsrrrriecectctrctrc1122111)!2()!1(（F-6）
