1 圆锥曲线焦点弦长公式(极坐标参数方程) 圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点,主要是在解答题中,全国文科一般为压轴题的第22 题,理科和各省市一般为第21 题或者第20 题,几乎每一年都有考察。由于题目的综合性很高的,运算量很大,属于高难度题目,考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线(椭圆、双曲线和抛物线)的通用公式,它是解决这类问题的金钥匙,利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了,中等学习程度的学生完全能够得心应手!? 定理 已知圆锥曲线(椭圆、双曲线或者抛物线)的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴),焦点为F,设倾斜角为 的直线l经过 F,且与圆锥曲线交于A、B 两点,记圆锥曲线的离心率为e,通径长为H,则 (1)当焦点在x 轴上时,弦AB 的长|cos1|||22eHAB; (2)当焦点在y 轴上时,弦AB 的长|sin1|||22eHAB. 推论: (1)焦点在x 轴上,当A、B在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时,22 cos1||eHAB;当 A、B 不在双曲线的一支上时,1cos||22eHAB;当圆锥曲线是抛物线时,2sin||HAB . (2)焦点在y 轴上,当 A、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时,22 sin1||eHAB;当 A、B 不在双曲线的一支上时,1sin||22eHAB;当圆锥曲线是抛物线时,2cos||HAB . 2 典题妙解 下面以部分高考题为例说明上述结论在解题中的妙用. 例1(06 湖南文第21 题)已知椭圆134221 yxC :,抛物线pxmy22 )((p >0),且1C 、2C 的公共弦AB 过椭圆1C 的右焦点. (Ⅰ)当xAB 轴时,求 p,m 的值,并判断抛物线2C 的焦点是否在直线AB 上; (Ⅱ)若34p且抛物线2C 的焦点在直线AB 上,求 m 的值及直线AB 的方程. 2F O A B x y 3 例2(07 全国Ⅰ文第 22 题)已知椭圆12322 yx的左、右焦点分别为1F 、2F ,过1F 的直线交椭圆于 B、D 两点,过2F 的直线交椭圆于 A、C 两点,且BDAC ,垂足为 P. (1)设 P点的坐标为),(00yx,证明:232020yx<1. (2)求四边形 ABCD 的面积的最小值. 2F A B C D O x y 1F P 4 例3(08 全国Ⅰ理第 21 题文第 22 题)双曲线的中心为原点 O,焦点在 x上,两条渐近线分别为1l、2l,经过右焦点 F 垂直于1l的直线分别交1l、2l于 A、B 两点. 已知||OA 、||AB 、||OB 成等差数列,且 BF 与 FA 同向. (Ⅰ)求...