第六章非线性微分方程VIP专享VIP免费

第六章 非线性微分方程 §6 .1 稳定性 6 .1 .1 常微分方程组的存在唯一性定理 本章讨论非线性常微分方程组 nRYYtGdtdY∈=),;( （6 .1 ） 的解的性态. 设给定方程组（6 .1 ）的初值条件为 ， （6 .2 ） 00)(YtY=考虑包含点),,,;(),(02010000nyyytYtL=的某区域 bYYattR≤−≤−00,:. 在这里Y 的范数 Y 定义为∑==niiyY12 . 所谓在域上关于),( YtGGY 满足局部利普希茨条件是指：对于G 内任一点，存在闭邻域，而于),(00 YtGR ⊂),( YtGR 上关于 Y 满足利普希茨条件，即存在常数，使得不等式 0>L YYLYtGYtG−≤−~);()~;( （6 .3 ） 对所有RYtYt∈),(),~,(成立. 称为利普希茨常数. L 存在唯一性定理 如果向量函数在域),( YtGR 上连续，且关于Y 满足利普希茨条件，则方程组（6 .1 ）存在唯一解),;(00 YttYϕ=，它在区间htt≤−0上连续，而且 0000),;(YYtt=ϕ 这里);(max),,min(),(YtGMMbahGYt∈==. 解的延拓与连续定理 如果向量函数在域G 内连续，且关于),( YtGY 满足局部利普希茨条件，则方程组（6 .1 ）的满足初值条件（6.2）的解),;(00 YttYϕ=)),0t((0GY∈可以延拓，或者延拓到（或）；或者使点∞+∞−)),;(,(00 Yttt ϕ任意接近区域 G 的边界. 而解 ),;(00 Yttϕ作为的函数在它的存在范围内是连续的. 00,;Ytt 可微性定理 如果向量函数及),( YtG),,2,1,(njiyGjiL∂∂在域内连续，那么方程组G（6 .1 ）由初值条件（6.2）确定的解),;(00 YttYϕ=作为 的函数，在它的存在范围内是连续可微的. 00,;Ytt 6 .1 .2 李雅普诺夫稳定性 考虑一阶非线性方程 2ByAydtdy−= （6.4） 其中为常数且，初值条件为BA,0>⋅ BA0)0(yy=. 为研究方程组（6 .1 ）的特解 )(tYϕ=邻近的解的性态，通常先利用变换 )(tYXϕ−= （6 .6 ） 把方程组（6 .1 ）化为 );( XtFdtdX =， （6 .7 ） 其中 ))(;())(;()();();(ttGtXtGdttdYtGXtFϕϕϕ−+=−=. 此时显然有 （6.8） 0)0;(=tF而把方程组（6 .1 ）的特解 )(tYϕ=变为方程组（6 .7 ）的零解0=X. 于是，问题就化为讨论方程组（6 .7 ）的零解 邻近的解的性态. 0=X驻定微分方程常用的特解是常数解，即方程右端函数等于零时的解，如方程（6 .4 ）的特解. 微分方程的常数解，又称为驻定解或平衡解. )(),(21tyty考虑微分方程组（6 .7 ），假设其右端函数满足条件（6 .8 ）且在包含原点的域内有连续...