1 “等时圆”模型的规律及应用 一、 等时圆模型（如图所示） 二、 等时圆规律： 1、小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间相等。（如图 a） 2、小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。（如图 b） 3、沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径（d ）自由落体的时间，即 gRgRgdt2420 （式中 R 为圆的半径。） 三、等时性的证明 设某一条弦与水平方向的夹角为 ，圆的直径为 d （如右图）。根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为singa ，位移为sinds ，所以运动时间为 gdgdast2sinsin220 即沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。 四、应用等时圆模型解典型例题 例 1：如图 1，通过空间任一点 A 可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A 分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（ ） A.球面 B.抛物面 C.水平面 D.无法确定 图 a 图 b 2 【解析】：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上，所以A 正确。 例2：如图2，在斜坡上有一根旗杆长为L，现有一个小环从旗杆顶部沿一根光滑钢丝AB 滑至斜坡底部，又知OB=L。求小环从A 滑到B 的时间。 【解析】：可以以O 为圆心，以 L 为半径画一个圆。根据“等时圆”的规律可知，从A 滑到B 的时间等于从A点沿直径到底端D 的时间，所以有gLgLgdttADAB242 例3 ：如图5所示，在同一竖直线上有A、B两点，相距为h，B点离地高度为H，现在要在地面上寻找一点P，使得从A、B两点分别向点P安放的光滑木板，满足物体从静止开始分别由A和B沿木板下滑到P点的时间相等，求O、P两点之间的距离OP 。 解析：由“等时圆”特征可知，当A、B 处于等时圆周上，且P 点处于等时圆的最低点时，即能满足题设要求。 如图6所示，此时等时圆的半径为： 12hRO PH 所以 22( )()2hOPRH Hh 例4：如图7， AB 是一倾角为θ的输送带，P 处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在P与AB 输送带间建立一管道（假使光滑），使原料从P 处以最短的时间到达输送带上，则管道与竖直方向的夹角应为多大？ 解析：借助“等时圆”，可以过P 点的竖直线为半径作圆，要求该圆与输送带 AB 相切，如图所示，C 为切点，O 为圆心。显然，沿着PC 弦建立管道，...
