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现代控制理论基础 3 6 第二章 线性控制系统的运动分析 2-1 线性定常系统齐次状态方程的解 设齐次向量微分方程为： 其中A为n×n常系数矩阵，其解为： 写成矩阵形式： 式中b0、b1、b2、…bk均为n维列向量，则 由待定系数法，得： 考虑到初始条件： )0()(0XtXAXXtknknnnkkkkntbtbtbbtbtbtbbtbtbtbbtxtxtxtX2210222221201212111021)()()()(kktbtbtbbtX2210)(kkkktAbtAbAbAXtkbtbbX1012120102301201!11!3131!2121AbkAbkbAbAbbAbAbbAbbkk)0()0()0()0()0()(2100ntxxxXbXtX现代控制理论基础 37 最后得： 定义状态转移矩阵： 则齐次状态方程的解可写为： 若初始条件为： 可以令： 可以求出： 关于线性定常齐次状态方程的求解，也可以应用拉氏变换，即： 两边拉氏变换： 可见状态转移矩阵： 证明：由于： )0()!1!21()(22XtAktAAtItXkkkkAttAktAAtIet!1!21)(22)0()0()()(XeXttXAt )()(00tXtXttkkttbttbttbbtX)()()()(0202010)()()()(0)(000tXetXtttXttA )0()(0XtXAXXt)0(])[()()0()()()()0()(111XAsILtXXAsIsXsAXXssX])[()(11AsILetAt现代控制理论基础 38 例：设系统状态方程为： 试求状态方程的解。 解： AtettAAtIAsILsAsAsIAsIIAsIsAsAsIsAsAsIAsI)(!21])[()())(())((2211322132232201)0()0()0(321021xxXXXtttttttttttteeeeXttxtxtXeeeeeeeeAsILtssssssssssAsIssAsI22212222111222)0()()()()(2222)()()2)(1()2)(1(2)2)(1(1)2)(1(3)(321现代控制理论基础 39 2-2 状态转移矩阵 一：φ(t)是矩阵微分方程： 的唯一解。 证：1）设φ(t)为状态转移矩阵，即为 方程 的解，把代入后，容易得证。 2）若φ(t)满足则φ(t)一定是状态转移矩阵，即 一定满足 说明φ(t)...