函数、不等式恒成立问题解法(老师用)VIP免费

1 函数、不等式恒成立问题解法（老师用） 恒成立问题的基本类型： 类型 1：设)0()(2acbxaxxf，（1）Rxxf 在0)(上恒成立00且a；（2）Rxxf 在0)(上恒成立00且a。 类型 2：设)0()(2acbxaxxf （1）当0a时，],[0)(xxf在上恒成立0)(2020)(2fababfab或或， ],[0)(xxf在上恒成立0)(0)(ff （2）当0a时，],[0)(xxf在上恒成立0)(0)(ff ],[0)(xxf在上恒成立0)(2020)(2fababfab或或 类型 3： min)()(xfIxxf恒成立对一切max)()(xfIxxf恒成立对一切。 类型 4： )()()()()()()(maxminIxxgxfxgxfIxxgxf的图象的上方或的图象在恒成立对一切 恒 成一、用一次函数的性质 对于一次函数],[,)(nmxbkxxf有： 0)(0)(0)(,0)(0)(0)(nfmfxfnfmfxf恒成立恒成立 例 1：若不等式)1(122 xmx对满足22m的所有 m 都成立，求 x 的范围。 解析：我们可以用改变主元的办法，将 m 视为主变元，即将元不等式化为：0)12()1(2xxm，；令)12()1()(2xxmmf，则22m时，0)(mf恒成立，所以只需0)2(0)2(ff即0)12()1(20)12()1(222xxxx，所以 x 的范围是)231,271(x。 2 二、利用一元二次函数的判别式 对于一元二次函数),0(0)(2Rxacbxaxxf有： （1）Rxxf 在0)(上恒成立00且a； （2）Rxxf 在0)(上恒成立00且a 例2：若不等式02)1()1(2xmxm的解集是R，求m 的范围。 解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1 是否是0。 （1）当m-1=0 时，元不等式化为2>0 恒成立，满足题意； （2） 01 m时，只需0)1(8)1(012mmm，所以， )9,1[m。 三、利用函数的最值（或值域） （1） mxf)(对任意x 都成立mxfmin)(； （2） mxf)(对任意x 都成立max)(xfm 。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。 例3：在 ABC 中，已知2|)(|,...