40. 时间序列分析Ⅲ—GARCH 模型 （一）GRACH 模型 即自回归条件异方差模型，是金融市场中广泛应用的一种特殊非线性模型。 1982 年，R.Engle 在研究英国通货膨胀率序列规律时提出 ARCH模型，其核心思想是残差项的条件方差依赖于它的前期值的大小。 1986 年，Bollerslev 在 ARCH 模型基础上对方差的表现形式进行了线性扩展，并形成了更为广泛的 GARCH 模型。 一、金融时间序列的异方差性特征 金融时间序列，无恒定均值（非平稳性），呈现出阶段性的相对平稳的同时，往往伴随着出现剧烈的波动性；具有明显的异方差（方差随时间变化而变化）特征： 尖峰厚尾：金融资产收益呈现厚尾和在均值处呈现过度波峰； 波动丛聚性：金融市场波动往往呈现簇状倾向，即波动的当期水平往往与它最近的前些时期水平存在正相关关系。 杠杆效应：指价格大幅度下降后往往会出现同样幅度价格上升的倾向。 因此，传统线性结构模型（以及时间序列模型）并不能很好地解释金融时间序列数据。 二、ARCH(p)模型 考虑 k 变量的回归模型 01 1ttkkttyxx 若残差项t 的均值为 0，对 y t 取基于 t-1 时刻信息的期望： 101 1()tttkktEyxx 该模型中，y t 的无条件方差是固定的。但考虑 y t 的条件方差： 221101 11var(|)()tttttkktttyYEyxxE 其中，1var(|)ttyY 表示基于 t-1 时刻信息集合 Yt-1 的 y t 的条件方差，若残差项t 存在自回归结构，则 y t 的条件方差不固定。 假设在前p期所有信息的条件下，残差项平方2t 服从AR(p)模型： 22211ttpt pt (*) 其中t 为 0 均值、2 方差的白噪声序列。则残差项t 服从条件正态分布： 2211~0,ttpt pN 残差项t 的条件方差： 22211var()tttpt p 由两部分组成： （1）常数项； （2）ARCH 项——变动信息，前 p 期的残差平方和21pit ii 注：未知参数01,,,p 和01,,,k 利用极大似然估计法估计。 方差非负性要求01,,,p 都非负。为了使2t 协方差平稳，需进一步要求方程 110ppzz 的根都位于单位圆外。若i 都非负，上式等价于11p . 注：若扰动项的条件方差不存在自相关，则有10p ，此时0v ...
