40. 时间序列分析Ⅲ—GARCH 模型 (一)GRACH 模型 即自回归条件异方差模型,是金融市场中广泛应用的一种特殊非线性模型。 1982 年,R.Engle 在研究英国通货膨胀率序列规律时提出 ARCH模型,其核心思想是残差项的条件方差依赖于它的前期值的大小。 1986 年,Bollerslev 在 ARCH 模型基础上对方差的表现形式进行了线性扩展,并形成了更为广泛的 GARCH 模型。 一、金融时间序列的异方差性特征 金融时间序列,无恒定均值(非平稳性),呈现出阶段性的相对平稳的同时,往往伴随着出现剧烈的波动性;具有明显的异方差(方差随时间变化而变化)特征: 尖峰厚尾:金融资产收益呈现厚尾和在均值处呈现过度波峰; 波动丛聚性:金融市场波动往往呈现簇状倾向,即波动的当期水平往往与它最近的前些时期水平存在正相关关系。 杠杆效应:指价格大幅度下降后往往会出现同样幅度价格上升的倾向。 因此,传统线性结构模型(以及时间序列模型)并不能很好地解释金融时间序列数据。 二、ARCH(p)模型 考虑 k 变量的回归模型 01 1ttkkttyxx 若残差项t 的均值为 0,对 y t 取基于 t-1 时刻信息的期望: 101 1()tttkktEyxx 该模型中,y t 的无条件方差是固定的。但考虑 y t 的条件方差: 221101 11var(|)()tttttkktttyYEyxxE 其中,1var(|)ttyY 表示基于 t-1 时刻信息集合 Yt-1 的 y t 的条件方差,若残差项t 存在自回归结构,则 y t 的条件方差不固定。 假设在前p期所有信息的条件下,残差项平方2t 服从AR(p)模型: 22211ttpt pt (*) 其中t 为 0 均值、2 方差的白噪声序列。则残差项t 服从条件正态分布: 2211~0,ttpt pN 残差项t 的条件方差: 22211var()tttpt p 由两部分组成: (1)常数项; (2)ARCH 项——变动信息,前 p 期的残差平方和21pit ii 注:未知参数01,,,p 和01,,,k 利用极大似然估计法估计。 方差非负性要求01,,,p 都非负。为了使2t 协方差平稳,需进一步要求方程 110ppzz 的根都位于单位圆外。若i 都非负,上式等价于11p . 注:若扰动项的条件方差不存在自相关,则有10p ,此时0v ...