习题详解第10章微分方程与差分方程初步VIP专享VIP免费

- 1 - 习题 10-1 1. 指出下列方程的阶数： (1)4620x yyx y． (2)22dd0ddQQQLRtct． (3)2dcosdρρθθ ． (4)2()d2d0yx yxxy． 解：(1)三阶(2)二阶(3)一阶(4)一阶 2. 验证下列给出的函数是否为相应方程的解： (1)2x yy , 2yCx． (2)2( +1)ddxyyx, +1yx． (3) 20yyy， xyx e． (4)22d0.4dst  ， 2120.2stc tc ． 解：(1)是，代入即可. (2)是，代入即可； (3)是，因为 ,2xxxxyexeyexe ，满足20yyy； (4)是，代入，212dd0.4,0.4ddsstCtt  ，显然满足. 3. 验证:函数x =C1coskt+C2sinkt(k≠0)是微分方程 222d0dxk xt 的通解. 解：221212( )sincos,( )cossin,x tC kktC kkt xtC kktC kkt  满足222d0dxk xt，所以是解，又因为含有两个任意常数12,C C ，且方程是二阶的，故是通解. 4. 已知函数x =C1coskt+C2sinkt(k≠0)是微分方程222d0dxk xt的通解,求满足初始条件 x | t0 2 x | t0 0 的特解. 解：上 题 可知 是微 分 方程通 解，且12( )sincos,x tC kktC kkt 代入初 值 条 件0|02,|0ttxx，得122,0CC，所以特解为2cos(0).xkt k 习题 10-2 1. 求下列微分方程的通解： (1)2310yyx； (2) 2  xyy； (3) ddsin x cos y ysin y cos x x； (4) 2ddddxxy yyxy y； (5) 22 ddddyyyxx yxx； (6) ddyxyxxy； (7) 22ddyyxxyx； (8) )2(tan212yxy． 解：(1)这是可分离变量方程，分离变量得 231d =dyyxx 两端分别积分： - 2 - 34111=+34yxC, 这就是方程通解 . (2)这是可分离变量方程，分离变量得 2d =2 dyxyx 两端分别积分： 122 +ln 2yxC ,即12 +202xyC(ClnC )  这就是方程通解 . (3)这是可分离变量方程，分离变量得 ddcos ycos xyxsin ysin x 两端分别积分： ln sin yln sin xlnC, 即sinxsin yCe 这就是方程通解 . (4)这是可分离变量方程，分离变量得 21d =d11yyxyx 两端分别积分： 21111 +22ln( y)ln( x)lnC,即221 +1yC( x) 这就是方程通解 . (5)这是齐次方程，令,...