1 函数的周期性与对称性 1、函数的周期性 若a 是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x 点有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。 ①f(x＋a)＝f(x－a) ②f(x＋a)＝－f(x) ③f(x＋a)＝1/f(x) ④f(x＋a)＝－1/f(x) 2、函数的对称性与周期性 性质5 若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a 与x＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b| 性质6、若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b| 性质7、若函数y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线x＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b| 3.函数)(xfy 图象本身的对称性（自身对称） 若()()f xaf xb ，则( )f x 具有周期性；若()()f axf bx ，则( )f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。 1、)()(xbfxaf )(xfy 图象关于直线22)()(baxbxax对称 推论 1：)()(xafxaf )(xfy 的图象关于直线ax 对称 推论 2、)2()(xafxf )(xfy 的图象关于直线ax 对称 推论 3、)2()(xafxf )(xfy 的图象关于直线ax 对称 2、cxbfxaf2)()( )(xfy 的图象关于点),2(cba 对称 推论 1、bxafxaf2)()( )(xfy 的图象关于点),(ba对称 推论 2、bxafxf2)2()( )(xfy 的图象关于点),(ba对称 推论 3、bxafxf2)2()( )(xfy 的图象关于点),(ba对称 例题分析： 1．设)(xf是 ),(上的奇函数，)()2(xfxf，当10x时， xxf)(，则)5.47(f等于 ( ) （A）0.5 （B）5.0 （C）1.5 （D）5.1 2、（山东）已知定义在 R 上的奇函数)(xf满足(2)( )f xf x ，则(6)f的值为（ ） A．－1 B．0 C．1 D．2 3．设)(xf是定义在 R 上的奇函数，(1)2,(1)(6),ff xf x求(10).f 4．函数)(xf对于任意实数x 满足条件1(2)( )f xf x，若(1)5f ，则[ (5)]f f _ _ _ 2 5．已知)(xf是定义在R 上的奇函数，且它的图像关于直线1x 对称。 （1）求(0)f的值；（2）证明)(xf是周期函数； （3）若( )(01)f xxx，求xR时，函数)(xf的解析式，并画出满足条件的函数)(xf至少一个周期的图象。 6.设f(x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f(x ...
