应用回归分析证明题及答案一. 证明残差满足的约束条件：10niie，10niiix e。证明： 由偏导方程即得该结论：01101?1001?11??2()0??2()0niiiniiiiQyxQyx x证毕 . 二. 证明平方和分解式：SSTSSR SSE。证明：221122111??()()????()()2()()nniiiiiinnniiiiiiiiiSSTyyyyyyyyyyyyyy011110111???22()0??2)0上式第三项nnniiiiiiiinniiiiie ye yexex e2211??()()即nniiiiiSSTyyyySSR SSE证毕 .三. 证明三种检验的关系：（1）12?2t== ?1xxLrnr；(2) 2212?/1F= == t?/(2)xxLSSRSSE n证明： 由于2121?SSR?,SSR ,SSTxyxxxxxxyyyyLLrLr SSTL LL22?22ieSSTSSRnn所以12?22 ;?1yyxxyyrLnLrntLSSRr212?/1.?/(2)xxLSSRFSSE n证毕.四．证明：222()1( )1()iiixxVar enxx。证明 ：由于0111???()?()()1()iiiiiiiniiiiiixxeyyyxyyxxxx yyyxxnL于是121112()1()()()1()()12,2,()()12,()niiiiiiixxniiiiiixxniiiiiiixxniiiiixxxx yVar eVaryyxxnLxx yVar yVaryVarxxnLxx yCov yyCov yxxnLxx yCovyxxnL22222222()()1122()11iixxxxixxxxxxnLnLxxnL证毕 .五．证明：在一元回归中，201??(,)xxxCovL。证明 ：01111111()()1??(,),()()1,()()1,()(1niiiiiixxxxnniiiiiixxxxnniiiiiixxxxniixxxx yxx yCovCovyxnLLxxxxCovxyynLLxxxxCovxyynLLxxxnL22)ixxxxxxLxL证毕 .六．证明：21?1SSEnp是误差项方差2 的无偏估计。证明 ：由于222()1( )1()iiixxD enxx而22()()( )( )iiiiE eD eE eD e所以2212112211?()()1111( )(1)111(1)1niinniiiiiEESSEE enpnpD ehnpnpnpnp证毕 .七．证明：?( )E ββ；21?( )()D βX X。证明 ：1111?( )()()()()EEEEβX XX yX XXyX XXXβεX XX X ββ111112121?? ?( ),(),()(),()()()()DCovCovCovββ βX XX yX XX yX XXy y X X XX XXIX X XX X证毕 .八．证明：在多元线性回归中， 假设2( ,)nNε0I，则随机向量2(,)nNyX βI。九．证明：当2(,)nNyXβI时，则：（1）21?( ,())NββX X；（2）2/(1)SSEnp。证明：（1）因为1?()βX XX y ， X 是固定的设计矩阵，因此，?β 是 y 的线性变换。又当2( ,)nNε0I时，有随机向量2(,)nNyXβI，所以 ?β 服从正态分布，且21??( ),( )()EDβββX X，即有21?( ,())NββX X。（2）：由于0??() ()()()SSENXeey - yy - y(I - H)y(I - H)yy (I - H)yy NyXβε N Xβεε Nε借助于定理：设( ,)nNX...
