第二章2.1. 试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，12(,,)pXXXXL的联合分布密度函数是一个p 维的函数，而边际分布讨论是12(,,)pXXXXL的子向量的概率分布，其概率密度函数的维数小于p 。2.2 设二维随机向量12()XX服从二元正态分布，写出其联合分布。解：设12()XX的均值向量为12μ，协方差矩阵为21122212，则其联合分布密度函数为1/212221121122221221211( )exp()()22f xxμxμ。2.3 已知随机向量12()XX的联合密度函数为121212222[()()()()2()()](,)() ()dcxabaxcxa xcf x xbadc其中1axb ，2cxd 。求（1 ）随机变量1X 和2X的边缘密度函数、均值和方差；（2 ）随机变量1X 和2X的协方差和相关系数；（3 ）判断1X 和2X 是否相互独立。（1 ）解：随机变量1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差；112121222[()()()()2()()]()() ()dxcdcxabaxcxaxcfxdxbadc12212222222()()2[()()2()()]() ()() ()ddccdcxa xbaxcxaxcdxbadcbadc121222202()()2[()2() ]() ()() ()ddccdcxa xba txa t dtbadcbadc22121222202()()[()2()]1() ()() ()dcdcdcxa xba txa tbadcbadcba所以由于1X 服从均匀分布，则均值为2ba ，方差为212ba。同理，由于2X 服从均匀分布2121,()0xxc dfxdc其它，则均值为2dc，方差为212dc。（2 ）解：随机变量1X 和2X 的协方差和相关系数；12cov(,)x x12121212222[()()()()2()()]22() ()dbcadcxabaxcxaxcabdcxxdx dxbadc()()36cdba1212cov(,)13xxx x（3 ）解：判断1X 和2X是否相互独立。1X 和2X 由于121212(,)()()xxfx xfxfx，所以不独立。2.4 设12(,,)pXXXXL服从正态分布， 已知其协方差矩阵为对角阵， 证明其分量是相互独立的随机变量。解：因为12(,,)pXXXXL的密度函数为1/21111(,...,)exp()()22ppf xxΣxμ Σxμ又由于21222pΣO22212pΣL212122111pΣO则1(,...,)pf xx211/22222121221111exp()()221pppΣxμ ΣxμLO222123111222212()()()1111exp...2222pppppxxxL2121()1exp()... ()22piipiiixf xf x则其分量是相互独立。2.5由 于 多 元 正 态 分 布 的 数 学 期 望 向 量 和 均 方 差 矩 阵 的 极 大 似 然 分 别 为1?niinμXX1?()()niiinΣXXXX35650.0012.33?17325.00152.50μX201588000.0038900.0083722500.00-736800.0038900.0013.06716710.00-35.80?83722500.0016710.0036573750.00-...
