差分方程基本概念和方法VIP专享VIP免费

1 差分方程基本概念和方法 考察定义在整数集上的函数， ( ),, 2 , 1 ,0 ,1 , 2 ,nxf n n 函数( )nxf n在n 时刻的一阶差分定义为： 1(1 )( )nnnxxxf nf n 函数( )nxf n在n 时刻的二阶差分定义为一阶差分的差分： 21212nnnnnnxxxxxx 同理可依次定义k 阶差分knx 定义1 ．含有自变量n ,未知函数nx 以及nx 的差分2,,nnxx的函数方程, 称为常差分方程，简称为差分方程。出现在差分方程中的差分的最高阶数，称为差分方程的阶。 k 阶差分方程的一般形式为 ( ,,,,)0knnnF n xxx 其中( ,,,,)knnnF n xxx为,,,knnnn xxx的已知函数，且至少knx要在式中出现。 定义2 ．含有自变量n 和两个或两个以上函数值1,,nnx x的函数方程，称为（常）差分方程，出现在差分方程中的未知函数下标的最大差，称为差分方程的阶。 k 阶差分方程的一般形式为 1( ,,,,)0nnn kF n x xx 其中1( ,,,,)nnn kF n x xx为1,,,nnn kn x xx 的已知函数，且nx 和n kx 要在式中一定要出现。 定义3 ．如果将已知函数( )nxn代入上述差分方程，使其对0 ,1 ,2 ,n 成为恒等式，则称( )nxn为差分方程的解。如果差分方程的解中含有k 个独立的任意 2 常数，则称这样的解为差分方程的通解，而通解中给任意常数以确定值的解，称为差分方程的特解。 例如： 设二阶差分方程 21nnnFFF，可以验证12151522nnnFcc是其通解，其满足条件121FF 的特解为：11515225nnnF。 这里nF 即为著名的Fibo n acci 数列。 定义 形如： 1122n kn kn kknxb xb xb xf n   （ 1,,kbb 为常数， 0,0,kbf nnk） 的差分方程称为k 阶常系数线性非齐次差分方程。 常系数线性非齐次差分方程  1122n kn kn kknxb xb xb xf n   对应的齐次差分方程为 11220n kn kn kknxb xb xb x   定理 4 非齐次差分方程的通解等于对应齐次差分方程的通解加上非齐次方程的特解，即 *nnnxxx 其中 *nx 是对应齐次差分方程的通解， nx 是非齐次差分方程的特解 对于线性齐次差分方程 11220n kn kn...