差分方程模型的理论和方法VIP专享VIP免费

1 差分方程模型的理论和方法 第一节 差分 一、 基本概念 1、差分算子 设数列 nx ，定义差分算子nnnxxx1:为nx 在n处的向前差分。 而1nnnxxx为nx 在n处的向后差分。 以后我们都是指向前差分。 可见nx是n的函数。从而可以进一步定义nx的差分： nnxx2)( 称之为在 n处的二阶差分，它反映的是的增量的增量。 类似可定义在n处的k 阶差分为： ))((1nknkxx 2、差分算子 、不变算子、平移算子 记nnnnxIxxEx ,1，称 E 为平移算子， I 为不变算子 。 则有：nnnnxIEIxExx)( IE  由上述关系可得： inkiikiknikiikiknknkxCxECxIEx00)1()1()( （1） 这表明nx 在n处的k 阶差分由nx 在knnn ....1,，处的取值所线性决定。 反之， 由 nnnxxx1 得 nnnxxx1： nnnnxxxx1222，得：nnnnxxxx2122, 这个关系表明：第n +2 项可以用前两项以及相邻三项增量的增量来表现和计算。即一个数列的任意一项都可以用其前面的k 项和包括这项在内的k +1 项增量的增量的增量… … ..第k 层增量所构成。 … … .. ,)1(10kninkiikiknkxxCx得： nkinkiikikknxxCx10)1( （2） 2 可以看出： knx 可以由nknnxxx,...,,的线性组合表示出来 3、差分方程 由nx 以及它的差分所构成的方程 ),...,,,(1nknnnkxxxnfx （3） 称之为 k 阶差分方程。 由（1）式可知（3）式可化为 ),...,,,(11 knnnknxxxnFx （4） 故（4）也称为 k 阶差分方程（反映的是未知数列nx 任意一项与其前，前面 k 项之间的关系）。 由（1）和（2）可知，（3）和（4）是等价的。 我们经常用的差分方程的形式是（4）式。 4、差分方程的解与有关概念 （1） 如果nx 使 k 阶差分方程（4）对所有的n成立，则称nx 为方程（4）的解。 （2） 如果 xxn（ x为常数）是（4）的解，即 ),...,,( xxnFx 则称 xxn为（4）的平衡解或叫平衡点。平衡解可能 不只一个。平衡解的基本意义是：设nx 是（4）的解，考虑nx 的变化性态，其中之一是极限状况，如果xxnnlim，则方程（4）两边取极限（ x 就存在在这里面），应当有 ),...,,( xxnFx （3） 如果（4）的解nx 使得 xxn既不...