1 差分方程模型的理论和方法 第一节 差分 一、 基本概念 1、差分算子 设数列 nx ,定义差分算子nnnxxx1:为nx 在n处的向前差分。 而1nnnxxx为nx 在n处的向后差分。 以后我们都是指向前差分。 可见nx是n的函数。从而可以进一步定义nx的差分: nnxx2)( 称之为在 n处的二阶差分,它反映的是的增量的增量。 类似可定义在n处的k 阶差分为: ))((1nknkxx 2、差分算子 、不变算子、平移算子 记nnnnxIxxEx ,1,称 E 为平移算子, I 为不变算子 。 则有:nnnnxIEIxExx)( IE 由上述关系可得: inkiikiknikiikiknknkxCxECxIEx00)1()1()( (1) 这表明nx 在n处的k 阶差分由nx 在knnn ....1,,处的取值所线性决定。 反之, 由 nnnxxx1 得 nnnxxx1: nnnnxxxx1222,得:nnnnxxxx2122, 这个关系表明:第n +2 项可以用前两项以及相邻三项增量的增量来表现和计算。即一个数列的任意一项都可以用其前面的k 项和包括这项在内的k +1 项增量的增量的增量… … ..第k 层增量所构成。 … … .. ,)1(10kninkiikiknkxxCx得: nkinkiikikknxxCx10)1( (2) 2 可以看出: knx 可以由nknnxxx,...,,的线性组合表示出来 3、差分方程 由nx 以及它的差分所构成的方程 ),...,,,(1nknnnkxxxnfx (3) 称之为 k 阶差分方程。 由(1)式可知(3)式可化为 ),...,,,(11 knnnknxxxnFx (4) 故(4)也称为 k 阶差分方程(反映的是未知数列nx 任意一项与其前,前面 k 项之间的关系)。 由(1)和(2)可知,(3)和(4)是等价的。 我们经常用的差分方程的形式是(4)式。 4、差分方程的解与有关概念 (1) 如果nx 使 k 阶差分方程(4)对所有的n成立,则称nx 为方程(4)的解。 (2) 如果 xxn( x为常数)是(4)的解,即 ),...,,( xxnFx 则称 xxn为(4)的平衡解或叫平衡点。平衡解可能 不只一个。平衡解的基本意义是:设nx 是(4)的解,考虑nx 的变化性态,其中之一是极限状况,如果xxnnlim,则方程(4)两边取极限( x 就存在在这里面),应当有 ),...,,( xxnFx (3) 如果(4)的解nx 使得 xxn既不...