数理方程总结完整终极版VIP专享VIP免费

00|( )( )ttuxuxt kzjyixˆˆˆuugrad 拉普拉斯算子：2222222zyx22222yuxuu 四种方法: 分离变量法、 行波法、 积分变换法、 格林函数法 定解问题： 初始条件.边界条件.其他 波 动 方程 的 初 始 条 波动方程的边界条件: (3) 弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧的支承。 定解问题的分类和检验：(1) 初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题； (2) 边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题； (3) 混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。 • 解的存在性：定解问题是否有解； • 解的唯一性：是否只有一解； • 解的稳定性：定解条件有微小变动时，解是否有相应的微小变动。 分离变量法：基本思想：首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等 分离变量法步骤：一有界弦的自由振动二有限长杆上的热传导三拉普拉斯方程的定解问题 常用本征方程齐次边界条件 2''0(0)( ) 0,/ ,1,2,sinkkXXXX lkl kXx  212''0(0)'() 0,() / ,0,1,2,sinkkXXXX lkl kXx  212''0'(0)( ) 0,() / ,0,1,2,coskkXXXX lkl kXx   2''0'(0)'( )0,/ ,0,1,2,coskkXXXX lkl kXx 非齐次方程的求解思路用分解原理得出对应的齐次问题。解出齐次问题。求出任意非齐次特解。叠加成非齐次解。 行波法：1.基本思想：先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。2.关键步骤：通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶偏微分方程。3.适用范围：无界域内波动方程，等… ufn11()()( )d22x atx atuxatxata 一维波动方程的达朗贝尔公式 解的性质：1. 只有初始位移时，1( , )()()2u xtx atx at()xat代表以速度a 沿x 轴正向传播的波。 ()xat代表以速度a 沿x 轴负向传播的波。2.只有初始速度时：1( , )( )d2x atx atu x t...