清华大学硕士生入学考试试题专用纸 准考证号 系别 考试日期 2003.01 专业 考试科目 数学分析 试题内容: 一、(15 分)设(20 分)设y)f(x,在R2\)}y,{(x00上定义,00),(limyyxxyxf=A ,且 >0 使得当0<|y-y0|< 时, 0),(limxxyxf Ф(y)存在。 求证:Ayxfxxyy00 ,)],(lim[lim 二、(20 分)设半径为r 的球面∑的球心在一固定球面∑ˊ:x2+y2+z2=a2(a>0) 上,问当r取何值时,球面∑含在球面∑ˊ内部的部分面积最大? 三、(20 分)设f0(x)C[﹣a,a](a>0), f n(x)=x f0n-1(t)dt,(n=1,2,…). 求证:{ f n(x) }在[﹣a,a]上一致收敛于0. 四、(20 分)设f (x,y)在R2上二阶连续可微,f (x,2x)=x, 'fx(x,2x)=x2, 且''fxx(x,y)= ''fyy(x,y),Ryx),(2. 求:'fy(x,2x), ''fyy(x,2x) 及''fxy(x,2x). 五、(25 分)设'f (0)存在,f (0)=0,xn=)/(12nknkf. 求证:nnxlim存在,且nnxlim=)0(f /2. 六、(25 分)设f (x)]1,0[C且在(0,1)上可导,且 f (1)= 2/10)(2dxxxf. 求证:存在 )1,0(, 使得'f ( )= - f ( )/ 七、(25 分)设f ,g 在R 上连续, f οɡ(x)= ɡοf (x);Rx, 并 且f (x)≠ ɡ(x) ,Rx. 求证:f οf (x)≠ ɡοɡ(x) Rx 清华大学硕士生入学考试试题专用纸 准考证号 系别 数学科学系 考试日期 2003.01 专业 考试科目 高等代数 试题内容: 一、(20 分)设 f (X)=(X+1)4(X-1)3为复方阵 A 的特征多项式,那么 A 的 Jordan 标准型 J有几种可能?(不计 Jordan 块的次序) 二、(20 分)设方阵 A=012326113----- A 在实数域 R 上是否相似域对角形(即有实方阵 P 使 P-1AP 为对角形)?在复数域 C 上呢?给出证明。 三、(20 分)判断以下论断是否成立,证明自己的判断:对任意 n 阶可逆方阵 A,存在方阵P,L,T 使得 PA=LT,其中 P 为对换方阵(即对换单位方阵 I 的某两行所得方阵)之积,L 为下三角形方阵且对角线元素均为 1, T 为上三角形方阵。 四、(20 分)任给互异复数a,b 和 a0,a1,a2,b0,b1,b2 是否存在多项式)(xf使得iiiibbfaaf)(,)()()( (i=0,1,2)?证明之。 (其中)()(afi表示 f (X)的次微商在 a 的取值) 五、(20 分)设方阵 11010...