清华大学数学系硕士生入学考试试题VIP专享VIP免费

清华大学硕士生入学考试试题专用纸 准考证号 系别 考试日期 2003.01 专业 考试科目 数学分析 试题内容： 一、（15 分）设（20 分）设y)f(x,在R2\)}y,{(x00上定义，00),(limyyxxyxf=A ,且  >0 使得当0＜｜y-y0｜＜ 时， 0),(limxxyxf Ф(y)存在。 求证：Ayxfxxyy00 ,)],(lim[lim 二、（20 分）设半径为r 的球面∑的球心在一固定球面∑ˊ：x2+y2+z2=a2(a>0) 上，问当r取何值时，球面∑含在球面∑ˊ内部的部分面积最大？ 三、（20 分）设f0(x)C[﹣a,a](a>0), f n(x)=x f0n-1(t)dt,(n=1,2,…). 求证：{ f n(x) }在[﹣a,a]上一致收敛于0. 四、（20 分）设f (x,y）在R2上二阶连续可微，f (x,2x）=x, 'fx(x,2x）=x2, 且''fxx(x,y)= ''fyy(x,y),Ryx),(2. 求：'fy(x,2x）, ''fyy(x,2x) 及''fxy(x,2x). 五、（25 分）设'f (0）存在，f (0)=0,xn=)/(12nknkf. 求证：nnxlim存在，且nnxlim＝)0(f /2. 六、（25 分）设f (x)]1,0[C且在(0,1)上可导，且 f (1)= 2/10)(2dxxxf. 求证：存在 )1,0（， 使得'f （ ）= - f ( )/ 七、（25 分）设f ，g 在R 上连续， f οɡ(x)= ɡοf (x);Rx, 并 且f (x)≠ ɡ(x) ,Rx. 求证：f οf (x)≠ ɡοɡ(x) Rx 清华大学硕士生入学考试试题专用纸 准考证号 系别 数学科学系 考试日期 2003.01 专业 考试科目 高等代数 试题内容： 一、（20 分）设 f （X）=(X+1)4(X-1)3为复方阵 A 的特征多项式，那么 A 的 Jordan 标准型 J有几种可能？（不计 Jordan 块的次序） 二、（20 分）设方阵 A＝012326113－－－－－ A 在实数域 R 上是否相似域对角形（即有实方阵 P 使 P-1AP 为对角形）？在复数域 C 上呢？给出证明。 三、（20 分）判断以下论断是否成立，证明自己的判断：对任意 n 阶可逆方阵 A，存在方阵P,L,T 使得 PA=LT,其中 P 为对换方阵（即对换单位方阵 I 的某两行所得方阵）之积，L 为下三角形方阵且对角线元素均为 1， T 为上三角形方阵。 四、（20 分）任给互异复数a,b 和 a0，a1，a2，b0，b1，b2 是否存在多项式)(xf使得iiiibbfaaf)(,)()()( (i=0,1,2)？证明之。 （其中)()(afi表示 f (X)的次微商在 a 的取值） 五、（20 分）设方阵 11010...