清华大学概率考研复习讲义1VIP免费

第一讲 概率论的基本概念 本讲内容 §1.1 事件与概率 §1.2 有等可能性的两个概型 §1.3 条件概率及事件的独立性 本讲提要 (略，见大纲) §1.1 事件与概率 1.1.1 概率论的研究对象和任务 1.1.2 事件的概念和性质 例 1.1.1 在有两排钉子的Galton 钉板实验中结果与事件. 必然事件Ω={ω1,ω2,ω3} / 基本事件： {ω1},{ω2},{ω3}. 事件体ℱ:={Ω,φ,{ω1},{ω2},{ω3}, {ω1,ω2},{ω1,ω3},{ω2,ω3},{ω1,ω2,ω3}} 注意：1). 在 中对至多可列次的集合的并、交及求余运算都是封闭的. 2). 事件是样本空间的子集而是事件体的元素（点），因此对任一事件A，有A⊂Ω，而A∈ℱ. 基于集合论建立‘事件’这一概念, 借用集合间的关系和运算来刻画现实中事件间的关系和运算. 对应表 1.1.1 集合的关系和运事件的关系和运算 算 ω∈ A 事件A 发生 A⊂B 事件A 发生则事件B 必发生 A∪B 或A+B 事件A 与事件B 至少有一个发生 ∪i Ai事件Ai中至少有一个发生 A∩B 或 AB 事件A 与事件B 同时发生 ∩i Ai所有事件Ai都同时发生 A \ B 或A－B 事件A 发生而事件B 不发生 事件间的运算有结合律、交换律、分配律, 以及对偶原理: UIIUiiiiiiiiAAAA==,, 1.1.3 概率的概念和性质 定义 1.1.2 设定义在事件体ℱ 上的实值集函数P，满足 z z P1）非负性 P(A) ≥0，A∈ ℱ P2）规范性 P(Ω)=1 P3）可列可加性 设Ai ∈ ℱ，i=1,2,… ，且两两不交即Ai Aj =φ, i ≠j. 有 P(∑ i=1∞ Ai) = ∑ i=1∞ P(Ai). 则称P 为定义在事件体ℱ 上的概率测度，简称概率. 称P(A)是事件A 的概率.  定理 1.1.2（概率的性质） 设P 是事件体ℱ 上概率，则 1）P(φ )=0； 2）有限可加性：当诸Ai不交，则P( ∑ ni=1 Ai)= ∑ ni=1 P(Ai). 3）设A∈ ℱ 则P(⎯A) = 1−P(A). 4）单调性：如果A⊂ B 则P(A)≤P(B). 5）连续性: 设Ai(∈ ℱ)单调，即Ai ⊂ Ai+1或[Ai ⊃Ai+1], i=1,2,…， 此时分别定义 limn→ ∞ An = ∪n=1∞ An [或 ∩n=1∞ An]， 则 P( limn→ ∞An)=limn→ ∞P( An). 定理1.1.3（一般加法公式） n =2 时的一般加法公式： )()()()(212121AAPAPAPAAP−+=∪ 两个事件的和, 常用处理方法有: z )()()()()()()()()()()()()()(212121212211212121有限可加性有限可加性一般加法公式AAPAAPAAPAAPAPAAPAPAAPAPAPAAP++=+=+=...