第四章 最小二乘法与组合测量 §1 概述 最小二乘法是用于数据处理和误差估计中的一个很得力的数学工具。对于从事精密科学实验的人们来说，应用最小乘法来解决一些实际问题，仍是目前必不可少的手段。例如，取重复测量数据的算术平均值作为测量的结果，就是依据了使残差的平方和为最小的原则，又如，在本章将要用最小二乘法来解决一类组合测量的问题。另外，常遇到用实验方法来拟合经验公式，这是后面一章回归分析方法的内容，它也是以最小二乘法原理为基础。 最小二乘法的发展已经经历了200 多年的历史，它最先起源于天文和大地测量的需要，其后在许多科学领域里获得了广泛应用，特别是近代矩阵理论与电子计算机相结合，使最小二乘法不断地发展而久盛不衰。 本章只介绍 经典 的最小二乘法及 其在组合测量中的一些简 单 的应用，一些深入 的内容可参 阅 专 门 的书 籍 和文献 。 §2 最小二乘法原理 最小二乘法的产 生 是为了解决从一组测量值中寻 求 最可信 赖 值的问题。对某量x 测量一组数据nxxx,,,21，假 设 数据中不存 在系 统 误差和粗 大误差，相互 独立 ，服 从正 态 分布 ，它们的标 准 偏 差依次 为：n,,21记 最可信 赖 值为 x ，相应的残差xxvii。测值落 入),(dxxxii的概率 。 dxvPiiii)2exp(2122 根 据概率 乘法定 理，测量nxxx,,,21同 时 出 现 的概率 为 niiiniidxvPP)]()(21exp[)2(12 显然，最可信赖值应使出现的概率P 为最大，即使上式中页指数中的因子达最小，即 iiiMinv22 权因子：22oiiw即权因子iw ∝21i，则 2[]i iwvvwvMin 再用微分法，得最可信赖值x 11niiiniiw xxw 即加权算术平均值 这里为了与概率符号区别，以i 表示权因子。 特别是等权测量条件下，有： Minvvvi2][ 以上最可信赖值是在残差平方和或加权残差平方和为最小的意义下求得的，称之为最小二乘法原理。它是以最小二乘方而得名。 为从一组测量数据中求得最佳结果，还可使用其它原理。 例如 （1）最小绝对残差和法： Minvi （2）最小最大残差法：Minvi max （3）最小广义权差法：Minvvii minmax 以上方法随着电子计算机的应用才逐渐引起注意，但最小二乘法便于解析，至今仍用得最广泛。 §3.线性参数最小二乘法 先举一个实际遇到的测量问题，为精密测定三个电容...
