等 腰 三 角 形 1． 如 图 ， 已 知 点 C 为 线 段 AB 上 一 点 ，和都 是 等 边 三 角 形 ， AN、BM 相 交于 点 O， AN、CM交 于 点 P， BM、CN 交 于 点 Q． （ 1） 求 证 ：． （ 2） 求的 度 数 ． （ 3） 求 证 ：． 【分析】（ 1） 欲 证， 只 需 证 明 它 所 在 的 两 个 三 角 形 全 等 ．（ 2）的 度数 可 用的 外 角 来 求 ， 但 要 注 意 全 等 所 得 到这 一 条 件 的 使 用 ．（ 3） 要， 则，应 该 为 一 个 等 边 三 角 形 ， 可 证 明≌，从 而 得 到． （ 1） 证明：和都 是 等 边 三 角 形 ， ，，， ， 即． 在和中 ， ≌， ． （ 2） 由 （ 1） 知 ，≌，． ， 即． （ 3） 在和中 ， ≌， ， ． 又， ， 即， ． 【点 拨 】 （ 1） 要证明线段相等（ 或角相等）， 找它们所在 的三角形全等． （ 2） 本题的图形规律：共一个顶点的两个等边三角形构成的图形中 ， 存在 一对或多对绕公共点旋转变换的三角形全等． 2． 如图， 在中 ,，，的平分线 AM 的长 15， 求 BC 的长． 【 分析】由 AM 平 分，，可 得，，则， 所 以． 在中 ，， 可 得，由， 可 求 出 BC 的 长 ． 解： 在中 ，，， ． AM 平 分， ， ， ． 在中 ，， ． 【 点拨】 含 30 度 的 直 角 三 角 形 的 性 质 常 与 直 角 三 角 形 的 两 个 锐 角 互 余 一 起 运 用 ， 此 性质 是 求 线 段 长 度 和 证 明 线 段 倍 分 问 题 的 重 要 方 法 ． 3． 如 图 ，，，，． 求 证 ：． 【 分析】 根 据 已 知 “，”联想到等腰三 角 形 “三 线 合一 ”， 通过辅助线 将证 明转化为证 明． 证 明 ： 延 长 CE、BA 交 于 点 F． ， ． 在和中 ， ≌， ， 即． ， ． 在和中 ， ≌， ， ． 【 点 拨 】 （ 1） 利 用 等 腰 三 角 形 “三 线 合 一 ”不仅能得到线 段相等 、角 相等 ， 而且能得到线 段的倍半关系． （ 2） 联系等 腰 三 角 形 “三 线 合 一 ”作顶角 平分线 或底边的中 线 或底边的高线 是常用 的辅助线 ． 4． 如 图 ， △ABC 中 ， AB=AC， 在AB ...
