1 / 4 §2 微分方程及其解的几何解释一． [ 内容简介 ] 本节给出微分方程及其解的几何解释. 二． [ 关键词 ] 积分曲线，线素场，等斜线三． [ 目的与要求 ] 弄清方向场和微分方程的积分曲线的几何意义. 四． [ 教学过程 ] 由§1 可以看到，给定平面上一个单参数曲线族0),,(Cyxf，可以通过求微分得方程0dyyfdxxf。从这两个方程消去任意常数C ，即得此曲线族所满足的一阶微分方程。反过来，当某些一阶微分方程的通解或通积分已经找到后，也可以用平面上的一个曲线族来表示它。现对一阶微分方程),(yxfdxdy)1.2(来讨论求解此方程的几何意义。设有一平面区域G （可能就是全平面） ，),(yxf是 G 内给定连续函数。设)1.2(有一解:)()(Ixxy)2.2(其中 I 是这个解的存在区间。显然函数)(xy在),(yx平面上的图象是一条光滑曲线，它称为方程)1.2(的一条积分曲线，仍记为。任取一点),(yxP，即Ix，)(xy。由于)( xy满足方程)1.2(，所以从导数的几何意义得出，曲线在 P 点的切线斜率为),())(,()('yxfxxfx。上述等式说明：一阶微分方程)1.2(的积分曲线是这样一条曲线，在它上面的每一点),(yx的切线斜率等于已知的),(yxf。这就是一阶微分方程)1.2(的解的几何意义。下面介绍线素场的概念。给了一阶微分方程)1.2(，对于区域 G 内每一点),(yxP，都可以作一斜率为)( Pf的小直线段)(PL，来标明积分曲线在该点的切线方向，称)(PL为微分方程)1.2(在 P 点的线素。对于区域 G 内每一点都这样作，而称区域G 连同上述全体线素为微分方程)1.2(的线素场（或方向场） 。由此可见，在方程)1.2(的积分曲线上的每一点处，积分曲线与)1.2(的线素场的线素相切；反之，若一条曲线在它上面的每一点与)1.2(的线素场的线素相切，则该曲线就是微分方程)1.2(的积分曲线。2 / 4 在线素场中，线素斜率等于常数k 的那些点所构成的曲线kL ，称为等斜线，微分方程)1.2(的等斜线方程为kyxf),(，其中 k 是参数。给出参数 k 的一系列充分接近的值，就可以得到足够密集的等斜线族，借此可以近似地作出微分方程)1.2(的积分曲线。当然，要想更精确地作出积分曲线，还必须进一步弄清楚积分曲线的极值点和拐点等 。 显 然 ， 极 值 点 和 拐 点 如 果 存 在 的 话 ， 一 般 他 们 分 别 满 足 方 程0),(yxf及0),(),(),(yyxfyxfxyxf。利用线素场可以近似地描绘出积分曲线，在利用线素场研究积分曲线的分布状况时，作出等斜线常...
