2010年全国大学生非数学专业竞赛试题及解答VIP专享VIP免费

2010 年全国大学生非数学专业竞赛试题及解答 一、计算题 （1） 求极限 21lim(1)sinnnkkknn 解法1 直接化为黎曼和的形式有困难. 注意到 3sin()xxO x=+, 3322611lim1sinlim1nnnnkkkkkkkOnnnnn, 由于 33336611|1() |20,()nnkkkkkOCnnnn ， 所以 2211lim1sinlim1nnnnkkkkkknnnn 65)(1)(lim102122dxxxnnknknkn. 解法2 利用31sin6xxxx-<<，得 3326221sin6kkkknnnn， 332622111111(1)1sin16nnnnkkkkkkk kkkkknnnnnnnn, 由于33336611|1|20,()nnkkkkknnnn ， 21lim1nnkkknn65)(1)(lim102122dxxxnnknknkn， 所以215lim(1)sin6nnkkknn . （2）计算2222axdydzzadxdyIxyz， 其中 为下半球222zaxy 的上侧，0a . 解法一. 先以12222xyza代入被积函数， 2axdydzzadxdyIa  21a x d y d zzad x d ya， 补一块有向平面222:0xyaSz  ，其法向量与 z轴正向相反， 利用高斯公式，从而得到 -22+S1SIaxdydzzadxdyaxdydzzadxdya 2D12azadxdydza dxdya， 其中 为+S围成的空间区域，D 为0z 上的平面区域222xya， 于是32212323Iaazdxdydzaaa 222040012aaraddrzdza  32 a . 解法二. 直接分块积分 11Iaxdydza  2222yzDaxydydz ， 其中yzD为yOz平面上的半圆222yza，0z . 利用极坐标，得 222310223aIdar rdra  ， 221Izadxdya  22221xyDaaxydxdya， 其中xyD为xOy 平面上的圆域，222xya， 用极坐标，得 22222200122aIdaa arrrdra  36 a， 因此3122IIIa ...