2010 年考研数学一真题 一、选择题（1~8 小题，每小题4 分，共32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (1)极限ᵅᵅᵅᵆ→∞[ᵆ2(ᵆ−ᵄ)(ᵆ+ᵄ)]ᵆ = (A)1 (B)ᵅ (C)ᵅᵄ−ᵄ (D)ᵅᵄ−ᵄ 【考点】C。 【解析】 【方法一】 这是一个“1∞”型极限 ᵅᵅᵅᵆ→∞[ᵆ2(ᵆ−ᵄ)(ᵆ+ᵄ)]ᵆ = ᵅᵅᵅᵆ→∞{[1 +(ᵄ−ᵄ)ᵆ+ᵄᵄ(ᵆ−ᵄ)(ᵆ+ᵄ)](ᵆ−ᵄ)(ᵆ+ᵄ)(ᵄ−ᵄ)ᵆ+ᵄᵄ}(ᵄ−ᵄ)ᵆ+ᵄᵄ(ᵆ−ᵄ)(ᵆ+ᵄ)ᵆ = ᵅᵄ−ᵄ 【方法二】 原式= ᵅᵅᵅᵆ→∞ᵅᵆᵅᵅᵆ2(ᵆ−ᵄ)(ᵆ+ᵄ) 而ᵅᵅᵅᵆ→∞ ᵆᵅᵅᵆ2(ᵆ−ᵄ)(ᵆ+ᵄ)= ᵅᵅᵅᵆ→∞ ᵆᵅᵅ(1+(ᵄ−ᵄ)ᵆ+ᵄᵄ(ᵆ−ᵄ)(ᵆ+ᵄ)) = ᵅᵅᵅᵆ→∞ ᵆ ∙ (ᵄ−ᵄ)ᵆ+ᵄᵄ(ᵆ−ᵄ)(ᵆ+ᵄ) (等价无穷小代换) = ᵄ −ᵄ 则ᵅᵅᵅᵆ→∞[ᵆ2(ᵆ−ᵄ)(ᵆ+ᵄ)]ᵆ = ᵅᵄ−ᵄ 【方法三】 对于“1∞”型极限可利用基本结论： 若ᵅᵅᵅ ᵯ(ᵆ) = 0, ᵅᵅᵅ ᵯ(ᵆ) = 0,且ᵅᵅᵅ ᵯ(ᵆ) ᵯ(ᵆ) = ᵃ 则ᵅᵅ ᵅ(1 +ᵯ(ᵆ))ᵯ(ᵆ) = ᵅᵃ,求极限 由于ᵅᵅᵅᵆ→∞ᵯ(ᵆ)ᵯ(ᵆ) = ᵅᵅᵅᵆ→∞ᵆ2−(ᵆ−ᵄ)(ᵆ+ᵄ)(ᵆ−ᵄ)(ᵆ+ᵄ) ∙ ᵆ = ᵅᵅᵅᵆ→∞(ᵄ−ᵄ)ᵆ2+ᵄᵄᵆ(ᵆ−ᵄ)(ᵆ+ᵄ) = ᵄ −ᵄ 则ᵅᵅᵅᵆ→∞[ᵆ2(ᵆ−ᵄ)(ᵆ+ᵄ)]ᵆ = ᵅᵄ−ᵄ 【方法四】 ᵅᵅᵅᵆ→∞[ᵆ2(ᵆ−ᵄ)(ᵆ+ᵄ)]ᵆ = ᵅᵅᵅᵆ→∞[(ᵆ−ᵄ)(ᵆ+ᵄ)ᵆ2]−ᵆ = ᵅᵅᵅᵆ→∞(1 −ᵄᵆ)−ᵆ∙ ᵅᵅᵅᵆ→∞(1 +ᵄᵆ)−ᵆ= ᵅᵄ ∙ ᵅ−ᵄ= ᵅᵄ−ᵄ 综上所述，本题正确答案是C。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算，两个重要极限 (2)设函数ᵆ = ᵆ(ᵆ,ᵆ)由方程ᵃ (ᵆᵆ , ᵆᵆ) = 0确定，其中ᵃ为可微函数，且ᵅ′′2 ≠ 0,则ᵆ ᵱᵆᵱᵆ +ᵆ ᵱᵆᵱᵆ = 。 (A)ᵆ (B)ᵆ (C)−ᵆ (D)−ᵆ 【答案】B。 【解析】 因为 ᵱᵆᵱᵆ = −ᵃᵆ′ᵃᵆ′ = −ᵃ1′ (−ᵆᵆ2)+ᵃ2′ (−ᵆᵆ2)ᵃ2′ ∙1ᵆ= ᵃ1′ ∙ᵆᵆ+ᵃ2′ ∙ᵆᵆᵃ2′, ᵱᵆᵱᵆ = −ᵃᵆ′ᵃᵆ′ = −ᵃ1′ ∙1ᵆᵃ2′ ∙1ᵆ= −ᵃ1′ᵃ2′ 所以ᵆ ᵱᵆᵱᵆ +ᵆ ᵱᵆᵱᵆ = ᵃ1′ ∙ᵆ+ᵃ2′ ᵆᵃ2′−ᵆᵃ1′ᵃ2′ = ᵃ2′ ᵆᵃ2′ = ᵆ 综上所述，本题正确答案是(B)。 【考点】高等数学—多元函数微分学—多元函数的偏导数和全...
