1 第2 8 届全国中学生物理竞赛决赛试题 一、（15 分）在竖直面内将一半圆形光滑导轨固定在A、B 两点，导轨直径AB=2R，AB 与竖直方向间的夹角为60°，在导轨上套一质量为m 的光滑小圆环，一劲度系数为k 的轻而细的光滑弹性绳穿过圆环，其两端系与A、B 两点，如图28 决—1 所示。当圆环位于 A 点正下方C 点时，弹性绳刚好为原长。现将圆环从 C 点无初速度释放，圆环在时刻 t运动到 C'点，C'O 与半径OB 的夹角为θ，重力加速度为g.试求分别对下述两种情形，求导轨对圆环的作用力的大小：（1）θ=90°（2）θ=30° 二、（15 分）如图28 决—2 所示，在水平地面上有一质量为M、长度为L 的小车，车内两端靠近底部处分别固定两个弹簧，两弹簧位于同一直线上，其原长分别为l1 和 l2，劲度系数分别为k1 和 k2；两弹簧的另一端分别放着一质量为m1、m2 的小球，弹簧与小球都不相连。开始时，小球 1 压缩弹簧 1 并保持整个系统处于静止状态，小球 2被锁定在车底板上，小球 2 与小车右端的距离等于弹簧 2 的原长。现无初速释放小球 1，当弹簧 1 的长度等于其原长时，立即解除对小球 2 的锁定；小球 1 与小球 2 碰撞后合为一体，碰撞时间极短。已知所有解除都是光滑的；从释放小球 1 到弹簧 2 达到最大压缩量时，小车移动力距离 l3.试求开始时弹簧 1 的长度l 和后来弹簧 2 所达到的最大压缩量Δl2. k1 k2 m2 m1 L 图28 决—2 A B C C' O D θ 60° 图28 决—1 2 三、（20 分）某空间站A 绕地球作圆周运动，轨道半径为rA=6.73×106m.一人造地球卫星B 在同一轨道平面内作圆周运动，轨道半径为rB=3rA/2，A 和B 均沿逆时针方向运行。现从空间站上发射一飞船（对空间站无反冲）前去回收该卫星，为了节省燃料，除了短暂的加速或减速变轨过程外，飞船在往返过程中均采用同样形状的逆时针椭圆转移轨道，作无动力飞行。往返两过程的椭圆轨道均位于空间站和卫星的圆轨道平面内，且近地点和远地点都分别位于空间站和卫星的轨道上，如图28 决—3 所示。已知地球半径为Re=6.38×106m，地球表面重力加速度为g=9.80m/s2.试求： （1）飞船离开空间站A 进入椭圆转移轨道所必须的速度增量 ΔvA，若飞船在远地点恰好与卫星B 相遇，为了实现无相对运动的捕获，飞船所需的速度增量 ΔvA. （2）按上述方式回收卫星，飞船从发射到返回空间站至少需要的时间，空间站A 至少需要绕地球转过的...
