2012年第九届东南地区数学奥林匹克试题参考解答VIP免费

1 第九届东南地区数学奥林匹克试题 参考解答 第一天 1. 求一个正整数组( ,,) (1)lmnlmn，使得111,,lmnkklkmkkk 依次成等比数列．（陶平生提供） 解 对*Nt，记1(1)2ttkt tSk．设 111,,lmnlmlnmkklkmkSkSSkSS  依次成等比数列，则 2()()lnmmlSSSSS， ① 即2()lnmlmSSSSS，于是应有2|lmSS，即 222 (1)(1)l lmm． 令1(1)ml l，并取3l ，于是11m ，则3116,66lmSSSS， 代人①得666nS，即(1)6662n n ，此时36n 满足． 因此 ( ,,)(3, 11, 36)lmn 是一组满足条件的解． 注 满足条件的数组( ,,)lmn 不是唯一的，例如还有 (8, 1 1, 1 3), (5, 9 , 1 4 )，(2, 12, 62), (3, 24, 171) 等等，（可以证明，这种数组有无穷多）． 2 2 . 如图，△ABC 的内切圆I 在边,,ABBCCA 上的切点分别是,,DEF ，直线E F 与直线,,AIBIDI 分别相交于点,,MNK ． 证明：DMKEDN KF．（张鹏程提供） 证明 易知,,,IDEB 四点共圆．又 9 0AIDIAD ， 9 0MEDFDAIAD  ， 所以AIDM ED ，于是,,,IDEM 四点共圆． 从而,,,,IDBEM 五点共圆，IM BIEB  9 0 ，即AMBM． 同理，,,,,IDANF 五点共圆，且BNAN． 设直线,ANBM 交于点G ，则易知点I 为△GAB 的垂心．又IDAB， 所以,,GID 共线．由,,,GNDB 四点共圆，知AD NG ． 同理B D MG ．所以D K 平分M D N，从而 D MK MD NK N． ① 又由,,,IDEM ； ,,,IDNF 分别共圆，知 KMKEKIKDKFKN， 所以 K MK FK NK E． ② 由①，②，知D MK FD NK E，即DMKEDN KF． GKMNFEDIBAC 3 3. 对正合数n ，记( )f n为其最小的三个正约数之和，( )g n为其最大的两个正约数之和．求所有的正合数n ，使得( )g n等于( )f n的某个正整数次幂．（何忆捷提供） 解法一 若n 是奇数，则 n 的一切约数都是奇数，故由题意知( )f n为奇数，( )g n为偶数，这样( )g n不可能等于( )f n的某个正整数次幂．因此只需考虑 n 是偶数的情况，此时1, 2 是 n 最小的两个正约数，,2nn是 n 最大的两个正约数． 设 d 是 n 除1, 2 以外的最小正约数．若存在*Nk 使( )( )kg nfn，则 3(12)(3)(m od...