二次方程问题其实质就是其相应二次函数的零点(图象与x 轴的交点)问题，因此，二次方程的实根分布问题，即二次方程的实根在什么区间内的问题，借助于二次函数及其图象利用形数结合的方法来研究是非常有益的。 设f(x)=ax 2+bx+c(a≠0)的二实根为x1,x2，(x1＜x2)，Δ=b2-4ac，且α、β(α＜β)是预先给定的两个实数。 1．当两根都在区间(α,β)内，方程系数所满足的充要条件： α＜x1＜x2＜β，对应的二次函数f (x)的图象有下列两种情形(图1) 当a＞0 时的充要条件是：Δ＞0，α＜-b/2a＜β，f(α)＞0，f (β)＞0 当a＜0 时的充要条件是：Δ＞0，α＜-b/2a＜β，f(α)＜0，f (β)＜0 两种情形合并后的充要条件是： Δ＞0，α＜-b/2a＜β，af(α)＞0，af (β)＞0 ① 2．当两根中有且仅有一根在区间（α，β）内，方程系数所满足的充要条件： α＜x1＜β或α＜x2＜β，对应的函数f(x)的图象有下列四种情形（图2） 从四种情形得充要条件是： f (α)·f (β)＜0 ② 3．当两根都不在区间［α，β］内方程系数所满足的充要条件： （1）两根分别在区间［α，β］之外的两旁时： x1＜α＜β＜x2，对应的函数f(x)的图象有下列两种情形（图3）： 当a＞0 时的充要条件是：f (α)＜0，f (β)＜0 当a＞0 时的充要条件是：f (α)＞0，f (β)＞0 两种情形合并后的充要条件是： af (α)＜0，af (β)＜0 ③ （2）两根分别在区间［α，β］之外的同旁时： x1＜x2＜α＜β或α＜β＜x1＜x2，对应函数f(x)的图象有下列四种情形（图4）： 当 x1＜x2＜α时的充要条件是： Δ＞0，-b/2a＜α，af (α)＞0 ④ 当β＜x1＜x2时的充要条件是： Δ＞0，-b/2a＞β，af (β)＞0 ⑤ 二次函数与二次不等式 前面提到，一元二次不等式的解集相应于一元二次函数的正值、负值区间。解不等式与证明不等式成立，经常要用到二次函数的极值性质、单调性、图象与 x 轴的位置关系等。 例题讲解 1. 已知方程 x2+2px+1=0 有一个根大于 1，有一个根小于 1，则 P 的取值为 。 2. 如果方程（1-m2）x2+2mx-1=0 的两个根一个小于零，另一个大于 1，试确定 m 的范围。 3. 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0).若方程f(x)=x 无实根，求证：方程f[f(x)]=x 也无实根， 4. 对二次函数f(x)= ax2+bx+c(a≠0)，求证，必存在x=±M≠0，使 f(±M)均与 a 同号。 5. 若a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn 都是实数，求证：（a1b1+a2b2+...
