1 初中数学《最值问题》典型例题 一、解决几何最值问题的通常思路 两点之间线段最短； 直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短； 三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值） 是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段． 几何最值问题中的基本模型举例 轴对称最值 图形 lPBA NMlBA APBl 原理 两点之间线段最短 两点之间线段最短 三角形三边关系 特征 A，B 为定点，l为定直线，P 为直线l上的一个动点，求AP+BP 的最小值 A，B 为定点，l为定直线，MN为直线l上的一条动线段，求AM+BN 的最小值 A，B 为定点，l为定直线，P 为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值 转化 作其中一个定点关于定直线l的对称点 先平移AM 或BN 使M，N重合，然后作其中一个定点关于定直线l的对称点 作其中一个定点关于定直线l的对称点 折叠最值 图形 B'NMCAB 原理 两点之间线段最短 特征 在△ABC 中，M，N 两点分别是边AB，BC 上的动点，将△BMN 沿 MN 翻折，B 点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值． 转化 转化成求AB'+B'N+NC 的最小值 二、典型题型 1．如图：点P 是∠ AOB 内一定点，点M、N 分别在边OA、OB 上运动， 若∠ AOB=45°，OP=3 2 ，则△PMN 的周长的最小值为 ． 【分析】作P 关于OA，OB 的对称点C，D．连接OC，OD． 则当 M，N 是CD 与OA，OB 的交点时，△PMN 的周长最短， 最短的值是CD 的长．根据对称的性质可以证得：△COD 是等腰直角三角形，据此即可求解． 【解答】解：作P 关于OA，OB 的对称点C，D．连接OC，OD．则当 M，N 是CD 与OA，OB 的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD 的长． PC 关于OA 对称， ∴ ∠ COP=2∠ AOP，OC=OP 同理，∠ DOP=2∠ BOP，OP=OD ∴ ∠ COD=∠ COP+∠ DOP=2（∠ AOP+∠ BOP）=2∠ AOB=90°，OC=OD． ∴ △ COD 是等腰直角三角形． 则 CD=2 OC=2 × 32 =6． 2 【题后思考】本题考查了对称的性质，正确作出图形，理解△PMN 周长最小的条件是解题的关键． 2．如图，当四边形PABN 的周长最小时，a= ． 【分析】因为AB，PN 的长度都是固定的，所以求出PA+NB 的长度就行了．问题就是PA+NB 什么时候最短． 把B 点向左平...
