154 第十一章 相似形与面积问题 第一节 相似三角形 【知识点拨】 1、相似三角形的判定： （ 1）两角对应相等，两个三角形相似； （ 2）两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似； （ 3）三边对应成比例，两个三角形相似； （ 4）如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，这两个直角三角形相似。 2、相似三角形的性质 （ 1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例； （ 2）相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、对应周长的比都等于相似比； （ 3）相似三角形的面积比等于相似比的平方。 3、涉及的问题及解题思路： 证线段成比例、线段相等、线段的和差倍分、角相等；证平行、计算线段长；求三角形的面积。 解题时，要注意抓住题设、结论的特点，设法将问题设法与证两个三角形相似联系。 【赛题精选】 例1、已知正方形ABCD 的边长是5 厘米，EF＝FG ，FD＝DG 。 求△ECG 的面积。（2003 年河北省竞赛题） 【说明】在相似形中，计算线段长的主要方法是由线段成比例定理（如平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质等）列出含待求线段的比例式，再设法求出待求线段的长。 155 例2、已知在平行四边形ABCD 中，M、N 为AB 的三等分点，DM、DN 交于AC 于P、Q 两点。求AP：PQ：QC 的值。（2001 年河北省竞赛题） 【说明】解线段a： b： c 的问题，可根据相关的性质将a、 b、 c 用同一条线段表示出来，再求几条线段的比。若a、 b、 c 正好可组成一条线段，常用这条线段表示这三条线段。 例3、正方形ABCD 中，E 是对角线AC 上一点，F 是边AB 上一点，且AE＝2EC，FB＝2AF。 求∠EDF 的度数（2002 年河南省竞赛题） 例4、如图，四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O，直线l ∥BD，且与AB、DC、BC、AD 及AC 的延长线分别相交于点M、N、R、S和P。 求证：PM·PN＝PR·PS。（1999年山东竞赛题） 【说明】证明线段成比例的方法有：证两个三角形相似、等线代换法、等比代换法。对于等积式的证明，常将其改证比例式，若比例式不能用上述三种方法证明时，可证等积式两边都等于第三个某两条线段的乘积。 156 例5、正方形ABCD 中，M、N 分别在AB、BC 边上，且BM＝BN，又BP⊥MC 于P。 求证：PD⊥PN。（1990 年四川省竞赛题） 【说明】要证相等的两角是两个三角形的角，若能证这两个三角形相似，且两角是对应角，则达到两角相等。此种方法是证角相等的常用方...
