初中数学拔尖材料05 整除的基本知识 数 的 整 除 性 问 题 在 中 学 数 学 中 一 直 占 重 要 的 地 位 ， 任 何 重 要 的 考 试 都 离 不 开 这 类 问 题 ． 本 讲 主要 介 绍 常 用 的 整 除 的 基 本 性 质 及 其 解 题 方 法 ． 一、整除的基本性质 定 义 ： 若 整 数 a 能 被 整 数 (0)b b 除 尽 （ 或 者 说 a 是 b 的 倍 数 ）， 则 称 a 被 b 整 除 ． a 被 b 整 除也 称 作 b 能 整 除 a ， 用 符 号|b a 表 示 ； 而 b 不 能 整 除 a ， 则 用 baŒ 表 示 ． 有 关 整 除 的 基 本 性 质 如 下 ：（ 其 中 的 字 母 均 代 表 整 数 ） ⑴若|b a ，|c b ， 则|c a ． ⑵若|c a ，|c b ， 则|()cab． ⑶若|c a ， cbŒ ， 则()cabŒ． ⑷若|b a ， 则|b ac ． ⑸若|b a ，0c ， 则|bc ac ． ⑹若|b a ，|c d ， 则|bc ad ． ⑺若 abc， 且|m a ，|m b ， 则|m c ． ⑻若|b a ，|c a ， 则 [ , ]|b ca ． ⑼若|b a ，|c a ， 且 ( , )1b c ， 则|bc a ． ⑽若|c ab 且 ( , )1a c ， 则|c b ． 特别地 ， 若 质 数|p ab ， 则 必有|p a 或|p b ．（ 注： 质 数 又名素数 ）． ⑾若 ab， n 为正整 数 ， 则 () |()nnabab． ⑿若 ab ， n 为正偶数 ， 则 () |()nnabab． ⒀若 ab ， n 为正奇数 ， 则 () |()nnabab． ⒁ n 个连续正整 数 之积必能 被 1 2 3n 所整 除 ．（ 注： 这 些性 质 ， 必须熟记．） 典型例题 例1．求证：三个连续正整数的积必能被 6 整除． 例2．（1）设 xy、 均为整数，若 5 |9xy，求证：5 |87xy． （2）设 xyz、 、 均为整数，若11|725xyz，求证：11|3712xyz． 例3．已知8216178能被57 整除，求证：8316378也能被57 整除． 例4．设n 是正整数，试证：22120 | (1)(526)n nnn． 例5．已知3|4xy（xy、 均为整数），求证：229 |472xxyy． 例6．对任意正整数n ，求证：21313 52nn能被17 整除． 例7．试证明：若两个整数mn、 使22mmnn被9 整除，则 m 和 n ...
