常微分方程丁同仁李承志第二版第一章答案VIP专享VIP免费

习 题 1-1 1.验证下列函数是右侧相应微分方程的解或通解: （１）,2221xxececy .04yy 证明：,2221xxececy 则y =,222221xxecec,442221xxececy.04yy∴ （２）,sinxxy  xyyxcos． 证明： ,sinxxy  则 2sincosxxxxy xxxxxxxyyxcossinsincos （３）),(cdxxexyx  xxeyyx． 证明： ),(cdxxexyx  则 ,xexcdxxeyxx  ∴yyxxxexcdxxexxxxxecdxxex )( （４） 2112221,,40,,2,,4()()xyxxxccccxcc   '| |.yy  证明： （1）当1x c 时，y=214()x c,'y =12x c= | |y . 其他情况类似. ２．求下列初值问题的解： （１） ,xy  ,)0(0ay ,)0(1ay 2)0(ay． 解： ,xy  ∴,2112cxy 2)0(ay，∴21ac ， ∴3221,6yxa xc  ,)0(1ay ∴12ac ， ∴422111242yxa xa xc， ,)0(0ay 满足初值问题的解为：4221011242yxa xa xa． （２）),(xfdxdy  ,0)0(y （这里)(xf是一个已知的连续函数） 解 ： ),(xfdxdy  即 ,)(dxxfdy  ∴ cdttfdyxx 00)(, ∴,)()0()(0cdttfyxyx 0)0(y, ∴ 0c ∴ 满足初值问题的解为：dttfxyx0)()(. （３）,aRdtdR ,1)0(R 解：① 若,0R 则 adtRdR， 两边积分得：catRln 1)0(R ∴1c ∴满足初值问题的解为：ateR （４）21ydxdy， 00 )(yxy， 解 ： 21ydxdy， ∴dxydy21， 两 边 积 分 得 ：cxarctgy. 00 )(yxy， ∴00xyarctgc. ∴满足初值问题的解为：)(00xyarctgxtgy. ３．假设 （１） 函数12( ,,,,)nyx c cc是微分方程( )( , ,,,)0nF x y yy的通解，其中 12,,nc cc 是独立的任意常数， （２） 存 在 一 组 常 数12( ,,,)nnc ccR和 空 间 中 的 点(1)00000(,,,,)nMxyyy （３） 满足 001001(1 )(1 )0011(,,,)(,,,)(,,,)nnnnnnyx ccyx ccxyx ccx   试证明：存在点0M的某一 邻 域 U ， 使 得 对 任 意 一 点(1 )00000(,,,,)nMxyyy...