习 题 1-1 1.验证下列函数是右侧相应微分方程的解或通解: (1),2221xxececy .04yy 证明:,2221xxececy 则y =,222221xxecec,442221xxececy.04yy∴ (2),sinxxy xyyxcos. 证明: ,sinxxy 则 2sincosxxxxy xxxxxxxyyxcossinsincos (3)),(cdxxexyx xxeyyx. 证明: ),(cdxxexyx 则 ,xexcdxxeyxx ∴yyxxxexcdxxexxxxxecdxxex )( (4) 2112221,,40,,2,,4()()xyxxxccccxcc '| |.yy 证明: (1)当1x c 时,y=214()x c,'y =12x c= | |y . 其他情况类似. 2.求下列初值问题的解: (1) ,xy ,)0(0ay ,)0(1ay 2)0(ay. 解: ,xy ∴,2112cxy 2)0(ay,∴21ac , ∴3221,6yxa xc ,)0(1ay ∴12ac , ∴422111242yxa xa xc, ,)0(0ay 满足初值问题的解为:4221011242yxa xa xa. (2)),(xfdxdy ,0)0(y (这里)(xf是一个已知的连续函数) 解 : ),(xfdxdy 即 ,)(dxxfdy ∴ cdttfdyxx 00)(, ∴,)()0()(0cdttfyxyx 0)0(y, ∴ 0c ∴ 满足初值问题的解为:dttfxyx0)()(. (3),aRdtdR ,1)0(R 解:① 若,0R 则 adtRdR, 两边积分得:catRln 1)0(R ∴1c ∴满足初值问题的解为:ateR (4)21ydxdy, 00 )(yxy, 解 : 21ydxdy, ∴dxydy21, 两 边 积 分 得 :cxarctgy. 00 )(yxy, ∴00xyarctgc. ∴满足初值问题的解为:)(00xyarctgxtgy. 3.假设 (1) 函数12( ,,,,)nyx c cc是微分方程( )( , ,,,)0nF x y yy的通解,其中 12,,nc cc 是独立的任意常数, (2) 存 在 一 组 常 数12( ,,,)nnc ccR和 空 间 中 的 点(1)00000(,,,,)nMxyyy (3) 满足 001001(1 )(1 )0011(,,,)(,,,)(,,,)nnnnnnyx ccyx ccxyx ccx 试证明:存在点0M的某一 邻 域 U , 使 得 对 任 意 一 点(1 )00000(,,,,)nMxyyy...