常微分方程期末复习提要VIP免费

1 常微分方程期末复习提要 中央电大 顾静相 常微分方程是广播电视大学本科开放教育数学与应用数学专业的统设必修课程．本课程的主要任务是要使学生掌握常微分方程的基本理论和方法，增强运用数学手段解决实际问题的能力．本课程计划学时为54，3 学分，主要讲授初等积分法、基本定理、线性微分方程组、线性微分方程、定性理论简介等内容。本课程的文字教材是由潘家齐教授主编、中央电大出版社出版的主辅合一型教材《常微分方程》．现已编制了28 学时的IP 课件供学生在网上学习． 一、复习要求和重点 第一章 初等积分法 1．了解常微分方程、常微分方程的解的概念，掌握常微分方程类型的判别方法． 常微分方程与解的基本概念主要有：常微分方程，方程的阶，线性方程与非线性方程，解，通解，特解，初值问题。 2．了解变量分离方程的类型，熟练掌握变量分离方程解法． （1）显式变量可分离方程为： )()(ddygxfxy  ； 当0g时，通过积分Cxxfygyd)()(d 求出通解。 （2）微分形式变量可分离方程为： yyNxMxyNxMd)()(d)()(2211； 当0)()(21xMyN时，通过积分 CxxMxMyyNyNd)()(d)()(2112求出通解。 3．了解齐次方程的类型，熟练掌握齐次方程（即第一类可化为变量可分离的方程）的解法． 第一类可化为变量可分离方程的一阶齐次微分方程为： )(ddxygxy  ； 令xyu ，代入方程得xuugxu)(dd，当0)( uug时，分离变量并积分，得 uuguxC)(d1e，即)(euCx，用xyu 回代，得通解)(exyCx. 4．了解一阶线性方程的类型，熟练掌握常数变易法，掌握伯努利方程的解法． （1）一阶线性齐次微分方程为：0)(ddyxpxy 通解为：xxpCyd)(e。 （2）一阶线性非齐次微分方程为：)()(ddxfyxpxy； 用常数变易法可以求出线性非齐次方程的通解：]de)([ed)(d)(xxfCyxxpxxp。 （3）伯努利方程为：)1,0()()(ddnyxfyxpxyn， 2 两端除以ny ，得 )()(dd1xfyxpxyynn；令 nyz1，代入后得到以z 为未知函数的线性方程)()(dd11xfzxpxzn，在求通解。 5 ．了解全微分方程的类型及积分因子概念，熟练掌握全微分方程解法及简单积分因子的求法． （1）全微分方程（或恰当方程）为：0d),(d),(yyxNxyxM； 若二元函数 ),(yxU满足：yyxNxyxMyxUd),(d),(),(d，则上式的原函数为： ),(yxU. （2）如果存在连续可微函数0),(yx，使方程xyxMy...