幂函数经典例题VIP专享VIP免费

幂函数的概念 例1、下列结论中，正确的是( ) A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1) B．幂函数的图象可以出现在第四象限 C．当幂指数α 取1,3，12时，幂函数y ＝x α 是增函数 D．当幂指数α＝－1 时，幂函数y ＝x α 在定义域上是减函数 解析 当幂指数α＝－1 时，幂函数y ＝x －1 的图象不通过原点，故选项A 不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且 y ＝x α (α∈R)，y >0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B 不正确；而当α＝－1 时，y ＝x －1 在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但它在定义域上不是减函数． 答案 C 例2、已知幂函数f(x )＝(t3－t＋1)x 15(7＋3t－2t2) (t∈Z)是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数，求实数t 的值． 分析 关于幂函数y ＝x α (α∈R，α≠0)的奇偶性问题，设pq (|p|、|q|互质)，当 q 为偶数时，p 必为奇数，y ＝x pq是非奇非偶函数；当 q 是奇数时，y ＝x pq的奇偶性与 p 的值相对应． 解 f(x )是幂函数，∴t3－t＋1＝1， ∴t＝－1,1 或 0. 当t＝0 时，f(x )＝x 75是奇函数； 当t＝－1 时，f(x )＝x 25是偶函数； 当t＝1 时，f(x )＝x 85是偶函数，且25和85都大于 0， 在(0，＋∞)上为增函数． 故t＝1 且 f(x )＝x 85或 t＝－1 且 f(x )＝x 25. 点评 如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件t∈Z 给予足够的重视． 例3、如图是幂函数y ＝x m 与 y ＝x n 在第一象限内的图象，则( ) A．-11 D．n<－1，m>1 解析 在(0,1)内取同一值 x0，作直线 x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0x13，求 x 的取值范围． 错解 由于 x2≥0，x13∈R ，则由 x2>x13，可得 x∈R . 错因分析 上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征，尤其是y＝xα 在α>1 和0<α<1 两种情况下图象的分布． 正解 作出函数 y=x2 和 y=31x 的图象(如右图所示)，易得 x<0 或 x>1. 例5、函数 f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3 是幂函数，且当 x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求 f(x)的解析式． 分析 解答本题可严格根据幂函数的定义形式列方...