《数学分析》教案 - 1 - 第二十一章 重积分 教学目的：1.理解并掌握二重积分的有关概念及可积条件，进而会计算二重积分；2.理解三重积分的概念，掌握三重积分的计算方法，并能应用其解决有关 的数学、物理方面的计算问题；3.了解n重积分的有关概念及计算方法。 教学重点难点：本章的重点是重积分的计算和格林公式；难点是化重积分为累次积分。 教学时数：22学时 § 1 二重积分概念 一. 矩形域上的二重积分 : 从曲顶柱体的体积引入. 用直线网分割 . 定义 二重积分 . 例 1 用定义计算二重积分 .用直线网分割该正方形 , 在每个正方形上取其右上顶点为介点 . 解 . 二. 可积条件 : D . 大和与小和. Th 1 , . 《数学分析》教案 - 2 - Th 2 , . Th 3 在D上连续 , 在D上可积 . Th 4 设 , 为 上的可积函数. D, ( 或 D ) . 若 在D上有界 , 且在D \ 上连续 , 则 在D上可积 . 例2 P217ex2 三． 一般域上的二重积分： 1． 定义： 一般域上的二重积分. 2． 可求面积图形: 用特征函数定义. 四. 二重积分的性质 : 性质 1 . 性质 2 关于函数可加性 . 性质 3 则 在D上可积 在 和可积 , 且 . 性质 4 关于函数单调性 . 性质 5 . 《数学分析》教案 - 3 - 性质6 . 性质7 中值定理 . Th 若区域D 的边界是由有限条连续曲线 ( 或 )组成 , 在D上连续 , 则 在D上可积 . 例3 去掉积分 中的绝对值 . § 2 二重积分的计算 二. 化二重积分为累次积分: 1. 矩形域 上的二重积分: 用“ 体积为幂在势上的积分”推导公式. 2. 简单域上的二重积分: 简推公式, 一般结果]P219Th9. 例1 , . 解法一 P221例3 解法二 为三角形, 三个顶点为 , . 例2 , . P221例2. 例3 求底半径为 的两直交圆柱所围立体的体积 . P222例4. 《数学分析》教案 - 4 - § 3 Green公式 . 曲线积分与路径无关性 一. Green公式: 闭区域的正面与边界正向的规定搭配: 右手螺旋定向, 即以右手拇指表示区域的正面( 理解为拇指“站立在” 区域的正面上 ), 则其余四指( 弯曲 )表示边界的正向. 右手螺旋定向法则还可表述为: 人站立在区域的正面的边界上, 让区域在人的左方. 则人前进的方向为边界的正向. 参阅 P图 21—10. 若以 L记正向边界, 则用—L或 L 表示反向（或称为负向）边界. 1. Green公式: Th21.11 ...
