第 4 章 数值积分与数值微分1 数值积分的基本概念实际问题当中常常需要计算定积分。在微积分中，我们熟知，牛顿—莱布尼兹公式是计算定积分的一种有效工具，在理论和实际计算上有很大作用。对定积分( )baIf x dx ，若( )f x 在区间[ , ]a b 上连续，且( )fx 的原函数为( )F x ，则可计算定积分( )( )( )ba f x dxF bF a似乎问题已经解决，其实不然。如1）( )f x 是由测量或数值计算给出数据表时，Newton-Leibnitz 公式无法应用。2）许多形式上很简单的函数，例如2322sin1( )1,,sin,cos,,lnxxf xxxxexx等等，它们的原函数不能用初等函数的有限形式表示。3）即使有些被积函数的原函数能通过初等函数的有限形式表示，但应用牛顿—莱布尼兹公式计算，仍涉及大量的数值计算，还不如应用数值积分的方法来得方便，既节省工作量，又满足精度的要求。例如下列积分24211211lnarc ( 21)arc ( 21)14 2212 2xxdxtgxtgxCxxx对于上述这些情况，都要求建立定积分的近似计算方法——数值积分法。1.1 数值求积分的基本思想根据以上所述，数值求积公式应该避免用原函数表示，而由被积函数的值决定。由积分中值定理：对( )[ , ]f xC a b ，存在[ , ]a b ，有( )()( )ba f x dxba f表明，定积分所表示的曲边梯形的面积等于底为ba 而高为( )f的矩形面积（图4-1）。问题在于点的具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出( )f。我们将( )f称为区间 [ , ]a b 上的平均高度。这样，只要对平均高度( )f提供一种算法，相应地便获得一种数值求积分方法。如果我们用两端的算术平均作为平均高度( )f的近似值，这样导出的求积公式[( )( )]2baTf af b(4-1) 便是我们所熟悉的梯形公式 （图 4-2）。而如果改用区间中点2abc的“高度”( )f c 近似地取代平均高度( )f，则可导出所谓中矩形公式 （简称 矩形公式 ）()2abRba f(4-2) 更一般地，我们可以在区间[ , ]a b 上适当选取某些节点kx ，然后用()kf x加权平均得到平均高度( )f的近似值，这样构造出的求积公式具有下列形式：0( )()nbkkakfx dxA f x(4-3) 式中kx 称为 求积节点 ；kA 成为 求积系数 ，亦称伴随节点kx 的权。权kA 仅仅与节点kx 的选取有关，而不依赖于被积函数( )f x 的具体形式。这类由积分区间上的某些点上处的函数值的线性组合作为定积分的近似值的求积公式通常称为机械求积公式，它避免了 Newton-Le...
