数列专题1、数列的通项公式与前n 项的和的关系11,1,2nnnsnassn( 数列 {}na的前 n 项的和为12nnsaaaL). 2、等差数列的通项公式*11(1)()naanddnad nN；3、等差数列其前n 项和公式为1()2nnn aas1(1)2n nnad211()22d nad n . 4、等比数列的通项公式1*11()nnnaaa qqnNq；5、等比数列前n 项的和公式为11(1) ,11,1nnaqqsqna q或11,11,1nnaa q qqsna q. 常用数列不等式证明中的裂项形式: （1）(1111nnn(n+1)11 11()1k nkn(n+k); (2) 211111()1211kkk2k(3)211111111(1)(1)1kkkkkkkkk(4)1111(1)(2)2(1)(1)(2)n nnn nnn; (5)111 !!1 !nnnn (6)212212(1)11nnnnnnnnn11(1)2n nn) 一. 数列的通项公式的求法1. 定义法 ：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。例．等差数列na是递增数列， 前 n 项和为nS ，且931,,aaa成等比数列，255aS．求数列na的通项公式 . 解：设数列na公差为)0(dd 931,,aaa成等比数列，∴9123aaa，即)8()2(1121daadadad12 0d，∴da1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯① 255aS∴211)4(2455dada⋯⋯⋯⋯②由①②得：531a，53d∴nnan5353)1(532. 公式法 ：已知nS （即12( )naaaf nL）求na ，用作差法：11,(1),(2)nnnSnaSSn。例．已知数列na的前 n 项和nS 满足1,)1(2naSnnn．求数列na的通项公式。解：由1121111aaSa当2n时，有,)1(2)(211nnnnnnaaSSa1122 ( 1),nnnaa,)1(22221nnnaa⋯⋯，.2212aa11221122( 1) 2( 1)2 ( 1)nnnnnaaL].)1(2[323])2(1[2)1(2)]2()2()2[()1(21211211nnnnnnnnn经验证11a也满足上式，所以])1(2[3212nnna3. 作商法： 已知12( )na aaf nL求na ，用作商法：(1),(1)( ),(2)(1)nfnf nanf n。如数列}{na中，,11a对所有的2n都有2321naaaan，则53aa______ ；4. 累加法 ：若1( )nnaaf n 求na ：11221()()()nnnnnaaaaaaaL1a (2)n。例 . 已知数列na满足211a，nnaann211，求na 。解：由条件知：111)1(1121nnnnnnaann分 别 令)1(,,3,2,1nn， 代 入 上 式 得)1(n个 等 式 累 加 之 ， 即)()()()(1342312nnaaaaaaaa)111()4131()3121()211(nn所以naan111211a，nna n1231121例： 已知数列，且a1=2，an+1=an+n，求 an.解：naann 1∴11naann，221naann，332naann，·，112aa将以上各式相加得13211naa n2)1(22)1)(11(1nnnnaan又因为当n=1，22)11(121a成立，∴2)1(2nnan)(*Nn5. 累乘法： 已知1( )nnaf na求na ，用累乘法：121121nnnnnaaa...
