数列通项公式的六种常用求法一 、累加法形如1( )nnaaf n(n=2 、3、 4⋯...) 且(1)(2)...(1)fff n可求，则用累加法求na 。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。例1.在数列 {na } 中，1a =1，11nnaan(n=2 、3、4⋯⋯ ) ，求 {na }的通项公式。解： 111na时，21324312123.......1nnnaaaaaaaan时,这 n-1 个等式累加得：112...naa（n-1 ）=(1)2n n故21(1)222nn nnnaa且11a也满足该式∴222nnna( nN). 例 2．在数列 {na } 中，1a =1，12nnnaa( nN ),求na 。解： n=1 时, 1a =121232343112222.......2nnnnaaaaaaaa时,以上 n-1 个等式累加得21122...2nnaa=12(12)12n= 22n，故12221nnnaa且11a也满足该式∴21nna( nN )。二 、累乘法形如1( )nnaf na(n=2、3、4⋯⋯ )，且(1)(2)...(1)fff n可求，则用累乘法求na 。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。例 3．在数列 {na } 中，1a =1，1nnana ，求na 。解 ： 由 已 知 得1nnana， 分 别 取n=1 、 2 、 3⋯⋯ (n-1), 代 入 该 式 得n-1个 等 式 累 乘 ， 即3241231........nnaaaaaaaa=1× 2×3×⋯× (n-1)=(n-1)!所以时，1(1)!nana故(1)!nan且10!a=1 也适用该式∴(1)!nan( nN ). 例 4．已知数列 {na } 满足1a = 23，11nnnaan，求na 。解：由已知得11nnanan，分别令n=1，2，3，⋯ .(n-1),代入上式得 n-1 个等式累乘，即3241231........nnaaaaaaaa= 1231......234nn所以11naan，又因为123a也满足该式，所以23nan。三、构造等比数列法原数列 {na } 既不等差，也不等比。若把{na }中每一项添上一个数或一个式子构成新数列，使之等比，从而求出na 。该法适用于递推式形如1na=nbac 或1na=nbafn 或1na= nnbac 其中 b、c 为不相等的常数，f n 为一次式。例 8、已知数列 {na } 中，1a =1，1na= 23nna，求数列的通项公式。分析：该数列不同于以上几个数列，该数列中含3n 是变量，而不是常量了。故应构造新数列{3 }nna，其中为常数，使之为公比是na 的系数 2 的等比数列。解：构造数列 {3 }nna，为不为 0 的常数，使之成为q=2 的等比数列即113nna= 2(3 )nna整理得：1na=12(233)nnna满足1na= 23nna得12 333nnn∴1新数列 {3 }nna是首项为113a= 2，q=2 的等比数列∴3nna=122n∴na = 32nn四、构造等差数列法数列 {na } 既不等差， 也...
