《数学模型》作业解答第二章 (1)（2008 年 9 月 16 日）1． 学校共 1000 名学生， 235 人住在 A 宿舍， 333 人住在 B宿舍， 432 人住在 C宿舍 . 学生们要组织一个10 人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）. 按比例分配取整数的名额后, 剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. §1 中的 Q值方法；（3）.d ’Hondt 方法：将A、B、C 各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,⋯⋯相除，其商数如下表：将所得商数从大到小取前10 个（ 10 为席位数），在数字下标以横线，表中A、B、C行有横线的数分别为2，3，5，这就是 3 个宿舍分配的席位. 你能解释这种方法的道理吗如果委员会从10 个人增至 15 人，用以上 3 种方法再分配名额，将 3 种方法两次分配的结果列表比较. 解： 先考虑 N=10的分配方案，方法一（按比例分配）分配结果为：4,3,3321nnn方法二（ Q值方法）9 个席位的分配结果（可用按比例分配）为：第 10 个席位：计算Q值为3Q 最大，第10 个席位应给C.分配结果为5,3,2321nnn方法三（ d’ Hondt 方法）此方法的分配结果为：5,3,2321nnn此方法的道理是：记ip 和in 为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表 A、B、C宿舍） .iinp 是 1 2 3 4 5 A B C 235 117.5 78.3 58.75 ⋯333 166.5 111 83.25 ⋯432 216 144 108 86.4 每席位代表的人数，取,,2,1in从而得到的iinp 中选较大者，可使对所有的,iiinp 尽量接近. 再考虑15N的分配方案， 类似地可得名额分配结果. 现将 3 种方法两次分配的结果列表如下：宿舍（1）（2）（3）（1）（2）（ 3）A B C 3 2 2 3 3 3 4 5 5 4 4 3 5 5 5 6 6 7 总计 10 10 10 15 15 15 2． 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n 与转过时间的数学模型. 解： 设录像带记数器读数为n 时，录像带转过时间为t. 其模型的假设见课本. 考虑 t 到tt时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得,2)(kdnwknrvdt两边积分，得ntdnwknrkvdt00)(2第二章 (2) （2008 年 10 月 9 日）15． 速度为 v 的风吹在迎风面积为s的风车上，空气密度是，用量纲分析方法确定风车获得的功率 P 与 v 、S、的关系 . 解: 设 P 、 v 、S、的关系为0),,,(svPf， 其量纲表达式为: [P]=32TML, [v ]=1LT,[ s ]=2L ,[]=3ML, 这里TML,,是基本量纲 . 量纲矩阵为：A=()()()()()()(001310013212svPTML齐...
