热传导在三维的等方向均匀介质里的传播可用以下方程表达： 其中： • u =u(t, x, y, z) 表温度，它是时间变量 t 与 空间变量 (x,y,z) 的函数。 • /是空间中一点的温度对时间的变化率。 • , 与 温度对三个空间座标轴的二次导数。 • k 决定于材料的热传导率、密度与热容。 热方程是傅里叶冷却律的一个推论（详见条目热传导）。 如果考虑的介质不是整个空间，则为了得到方程的唯一解，必须指定 u 的边界条件。如果介质是整个空间，为了得到唯一性，必须假定解的增长速度有个指数型的上界，此假定吻合实验结果。 热方程的解具有将初始温度平滑化的特质，这代表热从高温处向低温处传播。一般而言，许多不同的初始状态会趋向同一个稳态（热平衡）。因此我们很难从现存的热分布反解初始状态，即使对极短的时间间隔也一样。 热方程也是抛物线偏微分方程最简单的例子。 利用拉普拉斯 算 子，热方程可推广 为下述 形 式 其 中 的 是 对 空 间 变 量 的 拉 普 拉 斯 算 子 。 热 方 程 支 配 热 传 导 及 其 它 扩 散 过 程 ， 诸 如 粒 子 扩 散 或 神 经 细 胞 的 动 作电 位 。 热 方 程 也 可 以 作 为 某 些 金 融 现 象 的 模 型 ， 诸 如 布 莱 克 -斯 科 尔斯 模 型 与 Ornstein-Uhlenbeck 过 程 。 热 方 程 及 其 非 线 性 的 推 广 型 式也 被 应 用 于 影 像 分 析 。 量 子 力 学 中 的 薛 定 谔 方 程 虽 然 有 类 似 热 方 程 的数 学 式 （ 但 时 间 参 数 为 纯 虚 数 ） ， 本 质 却 不 是 扩 散 问 题 ， 解 的 定 性 行为 也 完 全 不 同 。 就 技 术 上 来 说 ， 热 方 程 违 背 狭 义 相 对 论 ， 因 为 它 的 解 表 达 了 一 个 扰 动可 以 在 瞬 间 传 播 至 空 间 各 处 。 扰 动 在 前 方 光 锥外的 影 响通常可 忽略不计， 但 是 若要为 热 传 导 推 出一 个 合理的 速度， 则须转而考虑一 个 双曲线 型 偏微分 方 程 。 以傅里叶级数解热方程[编辑] 以 下解 法首先由约瑟夫·傅里叶在 他于 1822 年出版的 著作 Théorie analytique de la chaleur（ 中 译：解 析 热 学 ） 给出。 先考虑只有 一个 空 间 变 量 的...
