11．设海水的深度每增加1m，海水的密度就增5kg/m3，表面海水密度为ρ0= 1
0×103kg/m3
一密度为 ρ = 1
5× 103kg/m3 的刚性小球自海面无初速下落，至海底时速度又刚好为零
忽略海洋湍流及其他一切因素的影响
（1）试证明小球的运动是简谐运动；（2）求此海水的深度；（3）求小球下落过程中的最大速度
解．（1）当小球平衡时，由平衡条件得所处深度的海水密度为小球的密度 ρ = 1
5×103kg/m3，以平衡位置为坐标原点，当小球向上位移为x 时，海水的密度为ρ - 5x，小球受重力为ρ gV，小球受海水的浮力（ρ - 5x） gV，因此小球受到向下的合力为：f = ρ gV - （ρ - 5x）gV = 5gVx 同理可得，小球向下位移为x 时所受合力与此相同，只是方向向上
由此可见， 下球所受合力大小与位移成正比，方向与位移方向相反，因此小球将做简谐运动
（2）最大深度时的加速度与开始小球的加速度大小相同a 始 = ρ gV - ρ0gVρ V = 13m/s2a 底 = ρxgV - ρ gVρ V = a 始 = 13m/s2解得：最深处的海水加速度为ρx = 2
0×103kg/m3海水的最大深度为H = ρx - ρ05= 200m （这一问也可以用动能定理求解）（3）由于浮力随深度是均匀增加的，可以用平均力求浮力做功或画出F— h 图象根据面积求浮力做功
由简谐运动知识知，海水深度h = 100m 时小球速度最大根据动能定理得：ρ gVh - 12[ρ0gV + （ρ0 + 5h）gV]h = 12ρ Vv2 – 0 代入数据解得： v≈18
3m 12．在宇航舱中，有一块舱壁面积为A ，舱内充满CO 2 气体，且一段时间内压强不变，如果 CO2 气体对板的压强是由气体分子垂直撞击平板形成的，假设气体分子中各有1/6 的个数分别向上、下
