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精解三角函数的周期性VIP免费

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精解三角函数的周期性 一、正弦函数的周期 三角函数,以正弦函数 y = sin x 为代表,是典型的周期函数. 幂函数 y = xα 无周期性,指数函数 y = ax 无周期性,对数函数 y =logax无周期, 一次函数 y = kx+b、二次函数 y = ax2+bx+c、三次函数 y = ax3+bx2 + cx+d 无周期性. 周期性是三角函数独有的特性. 1、正弦函数 y=sin x 的最小正周期 在单位圆中,设任意角α 的正弦线为有向线 段 MP. 正弦函数的周期性 动点 P 每旋转一周,正弦线 MP 的即时位置 和变化方向重现一次. 同时还看到,当 P 的旋转量不到一周时,正 弦线的即时位置包括变化方向不会重现. 因此,正弦函数y=sinx 的最小正周期2π. 2、y=sin(ω x)的最小正周期 设 ω >0,y =sin(ωx)的最小正周期设为 L . 按定义 y = sin ω(x+L) = sin(ωx+ ωL) = sinωx . 令 ωx = x 则有 sin (x + ωL) = sin x 因为 sinx 最小正周期是 2π,所以有 例如 sin2x 的最小正周期为 sin的最小正周期为 3、正弦函数 y=sin(ωx+φ) 的周期性 对正弦函数sinx 的自变量作“一次替代” 后,成形式 y = sin (ωx+φ ). 它的最小正周期与 y = sinωx 的最小正周期相同,都是. 如的最小周期与 y = sin(3x)相同,都是. 于是,余弦函数的最小正周期与sinx 的 最小正周期相同,都是2π. 二、复合函数的周期性 将正弦函数 y = sin x 进行周期变换x→ωx,sinx →sinωx 后者周期变为 而在以下的各种变换中,如 (1)初相变换sinωx → sin( ωx+φ); (2)振幅变换sin(ωx +φ)→ Asin( ωx+φ); (3)纵移变换 Asin( ωx +φ) → Asin( ωx+φ)+m; 后者周期都不变,亦即 Asin( ωx +φ) +m 与sin(ωx)的周期相同,都是. 而对复合函数 f (sinx)的周期性,由具体问题确定. 1、复合函数 f(sinx) 的周期性 【例题】 研究以下函数的周期性: (1)2 sinx; (2) (2)的定义域为[2kπ,2kπ+π],值域为[0,1],作图可知, 它是最小正周期为 2π 的周期函数. 【解答】 (1)2sinx 的定义域为 R,值域为,作图可知,它是最小正周期为 2π 的周期函数. 【说明】 从基本函数的定义域,值域和单调性出发,通过作图,还可确定,loga x,sinx,, sin(sinx)都是最小正周期2π 的周期函数. 2...

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