精解三角函数的周期性 一、正弦函数的周期 三角函数，以正弦函数 y = sin x 为代表，是典型的周期函数. 幂函数 y = xα 无周期性，指数函数 y = ax 无周期性，对数函数 y =logax无周期， 一次函数 y = kx+b、二次函数 y = ax2+bx+c、三次函数 y = ax3+bx2 + cx+d 无周期性. 周期性是三角函数独有的特性. 1、正弦函数 y=sin x 的最小正周期 在单位圆中，设任意角α 的正弦线为有向线 段 MP. 正弦函数的周期性 动点 P 每旋转一周，正弦线 MP 的即时位置 和变化方向重现一次. 同时还看到，当 P 的旋转量不到一周时，正 弦线的即时位置包括变化方向不会重现. 因此，正弦函数y=sinx 的最小正周期2π. 2、y=sin（ω x）的最小正周期 设 ω >0，y =sin（ωx）的最小正周期设为 L . 按定义 y = sin ω（x+L） = sin（ωx+ ωL） = sinωx . 令 ωx = x 则有 sin （x + ωL） = sin x 因为 sinx 最小正周期是 2π，所以有 例如 sin2x 的最小正周期为 sin的最小正周期为 3、正弦函数 y=sin（ωx+φ） 的周期性 对正弦函数sinx 的自变量作“一次替代” 后，成形式 y = sin （ωx+φ ）. 它的最小正周期与 y = sinωx 的最小正周期相同，都是. 如的最小周期与 y = sin（3x）相同，都是. 于是，余弦函数的最小正周期与sinx 的 最小正周期相同，都是2π. 二、复合函数的周期性 将正弦函数 y = sin x 进行周期变换x→ωx，sinx →sinωx 后者周期变为 而在以下的各种变换中，如 （1）初相变换sinωx → sin（ ωx+φ）； （2）振幅变换sin（ωx +φ）→ Asin（ ωx+φ）； （3）纵移变换 Asin（ ωx +φ） → Asin（ ωx+φ）+m； 后者周期都不变，亦即 Asin（ ωx +φ） +m 与sin（ωx）的周期相同，都是. 而对复合函数 f （sinx）的周期性，由具体问题确定. 1、复合函数 f（sinx） 的周期性 【例题】 研究以下函数的周期性： （1）2 sinx； （2） （2）的定义域为［2kπ，2kπ+π］，值域为［0，1］，作图可知， 它是最小正周期为 2π 的周期函数. 【解答】 （1）2sinx 的定义域为 R，值域为，作图可知，它是最小正周期为 2π 的周期函数. 【说明】 从基本函数的定义域，值域和单调性出发，通过作图，还可确定，loga x，sinx，， sin（sinx）都是最小正周期2π 的周期函数. 2...
