第一章 矩阵 一、矩阵的定义 由m×n 个数排成 m 行 n 列的矩形数表 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=mnmmnnaaaaaaaaaAKMOMMKK212222111211 m 个关于 n 个未知量 x1，x2，… ，xn 的一次方程组成的方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxaLLLLLLL22112222212111212111 线性方程组的系数矩阵 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=mnmmnnaaaaaaaaaAKMOMMKK212222111211 线性方程组的增广矩阵 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=mmnmmnnbaaabaaabaaaBLMMOMMLL21222221111211 矩阵相等 同型矩阵 行矩阵（或称行向量） 列矩阵（或称列向量） n 阶矩阵或 n 阶方阵 单位矩阵 上三角矩阵 下三角矩阵 对角矩阵 二、矩阵的运算 1、线性运算 矩阵A 与 B 的和：C=A+B 只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算。 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛+++++++++=mnmnmmmmnnnnbababababababababaCLMOMMLL221122222221211112121111 矩阵A 与数λ的乘积（简称矩阵的数乘），记作 λΑ ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛mnmmnnaaaaaaaaaλλλλλλλλλLMOMMLL212222111211 矩阵的加法及矩阵的数乘统称为矩阵的线性运算。 2 矩阵的乘法 设矩阵A=(aij)m×s， B=(bij) s×n， 构作一个 m×n 矩阵C= (cij) m×n，其中 ),2,1;,,2,1(12211njmibabababacskkjiksjisjijiijLLL===+++=∑= 那么，矩阵C 称为设矩阵A 与矩阵B 的乘积 ，记作：C = AB 一个 1×s 行矩阵与一个 s×1 列矩阵的乘积是一个 1 阶矩阵，即一个数。 所以，矩阵C = AB 的第 i 行、第 j 列元素 cij 就是 A 的第 i 行与矩阵B 的第 j 列的乘积。 左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时，两个矩阵才可以相乘 。 矩阵乘法不满足交换律。 矩阵乘法满足的运算规律： (1) ( AB)C=A(BC) (2) ( AB)=(λA)B=A(λB),其中 λ为数 (3) A(B+C)=AB+AC，(B+C)A=BA+CA 3 线性变换 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxayLLLLLLL22112222121212121111 表示从变量 x1 ，x2 ，… ，xn 到变量 y1 ，y2 ，… ，ym 的线性变换 。 记⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛==×mnnmijyyyxxxaAMM2121,,)(yx，则 y = A x 4 矩阵的幂 矩阵的非负整数幂的定义（A 为n 阶方阵）： A0=I ， Ak+1=AkA 由于矩阵乘法满足结合律，所以 AkAl=...
