§9 线性相关与线性无关 教学要求 ： 掌握线性相关与线性无关的定义,并能够判断向量组的线性相关性 知识要点 : 一、 定义与例子 : 定义 9.1 对向量组 ，如果存在一组不全为零的数 , 使得 那么, 称向量组 线性相关. 如果这样的 个数不存在, 即上述向量等式仅当 时才能成立, 就称向量组 线性无关. 含零向量的向量组 一定线性相关 , 因为 其中, 不全为零. 只有一个向量 组成的向量组线性无关的充分必要条件是 , 线性相关的充分必要条件是 . 考虑齐次线性方程组 (*) 它可以写成 ， 或 , 其中 . 由此可见, 向量组 线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组 (*) 有非零解. 也就是说, 向量组 线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组 (*) 只有零解. 例 1 向量组 是线性无关的 . 解: 设有 使 , 即 , 得齐次线性方程组 . 解此方程组得 , 所以向量组 线性无关. 例 2 设向量组 线性无关, 又设 , 证明向量组 也线性无关. 证明: 设有 使 , 即 , 因为 线性无关, 故有 此线性方程组只有零解 , 也即向量组 线性无关. 定理 9.1 向量组 线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可以由其余 个向量线性表示 . 证明: 必要性 设 线性相关, 即存在一组不全为零的数 , 使得 . 不妨设 , 则有 , 即 可以由其余 个向量 线性表示. 其实, 在向量等式 中, 任何一个系数 的向量 都可以由其余 个向量线性表示 . 充分性 设向量组 中有一个向量能由其余 个向量线性表示 . 不妨设 , 则 , 因为 不全为零, 所以 线性相关. 二、向量组线性相关和线性无关判别定理 : 设矩阵 的列向量组为 , 矩阵 的列向量组为 ,其中矩阵 是通过对矩阵 做行初等变换后得到的.我们有以下定理: 定理 9.2 向量组 与向量组 有相同的线性相关性. 证明 :记 .那么,当且仅当齐次线性方程组 有非零解时向量组 线性相关.当且仅当齐次线性方程组 有非零解时向量组 线性相关.由于齐次线性方程组 或者只是对调了 的第 个方程与第 个方程的位置,或者只是用非零数 承 的第 个方程,或者只是把 的第 个方程的 倍加到第 个方程上去,这连个方程组一定是同解的,所以,对应的向量组 有相同的线性相关性. 定理 9.3 如果向量组 线性相关,那么 也线性相关. 证明 :向量组 线性相关,即存在不全为零的数 使 , 于是 , 但是 , 仍不全为零,因...
