线线角、线面角,二面角(高考立体几何法宝)VIP专享VIP免费

1 1A1B1C1DABCDEFG线线角、线面角、二面角的求法 1.空间向量的直角坐标运算律： ⑴两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是1 12 23 30aba ba ba b ⑵两个非零向量a 与b 平行的充要条件是 a ²b =±|a ||b | 2.向量的数量积公式 若 a 与b 的夹角为θ (0≤θ ≤π ),且123( ,,)aa a a，123( ,,)bb b b,则 （1）点乘公式： a ²b =|a ||b | cosθ （2）模长公式：则222123| |aa aaaa，222123| |bb bbbb （3）夹角公式：1 1223 3222222123123cos| | | |a ba ba ba ba babaaabbb （4）两点间的距离公式：若111( ,,)A x y z ，222(,,)B xyz，则 2222212121||()()()ABABxxyyzz，222,212121()()()A Bdxxyyzz ①两条异面直线a、b 间夹角0, 2 在直线a上取两点 A、B，在直线b 上取两点 C、D，若直线a与b 的夹角为  ，则cos|cos,|AB CD CDABCDAB。 例 1 (福建卷)如图，长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，AA1=AB=2，AD=1，点 E、F、G 分别是DD1、AB、CC1 的中点，则异面直线A1E 与GF 所成的角是（ ） A．515arccos B． 4 C．510arccos D． 2 （向量法，传统法） 2 PBCA例2 (2 0 0 5年全国高考天津卷) 如图，PA  平面ABC ，90ACB 且PAACBCa，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于_____． 解：（1 ）向量法 （2 ）割补法：将此多面体补成正方体'''DBCAD B C P，PB 与AC 所成的角的大小即此正方体主对角线PB 与棱BD 所成角的大小，在Rt△PDB 中，即ta n2PDDBADB．故填2 ． 点评：本题是将三棱柱补成正方体'''DBCAD B C P ②直线a与平面 所成的角0, 2(重点讲述平行与垂直的证明) 可转化成用向量a 与平面 的法向量n 的夹角 表示，由向量平移得：若2时 2（图21）；若2时2（图31 ）. 平面 的法向量n 是向量的一个重要内容，是求直线与平面所成角、求点到平面距离的必备工具.求平面法向量的一般步骤： (1)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标111222( , ,),(,,)aa b cba b c (2)设出平面的一个法向量为( , , )nx y z (3)根据法向量的定义建立关于x,y,z 的方程组(02)a (4)解...