经典不等式证明的基本方法VIP免费

1 不等式和绝对值不等式 一、不等式 1、不等式的基本性质： ①、对称性： 传递性：_________ ②、 ，a+c＞b+c ③、a＞b， ， 那么ac＞bc； a＞b， ，那么ac＜bc ④、a＞b＞0， 那么，ac＞bd ⑤、a>b>0，那么an>bn.（条件 ） ⑥、 a＞b＞0 那么 （条件 ） 2、基本不等式 定理1 如果a, b∈R, 那么 a2+b2≥2ab. 当且仅当a=b 时等号成立。 定理2（基本不等式） 如果a，b>0，那么 当且仅当a=b 时，等号成立。即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。 结论：已知x, y 都是正数。（1）如果积xy 是定值p，那么当x=y 时，和x+y 有最小值2 ； （2）如果和x+y 是定值s，那么当x=y 时，积xy 有最大值 小结：理解并熟练掌握基本不等式及其应用，特别要注意利用基本不等式求最值时， 一 定要满足“一正二定三相等”的条件。 3、三个正数的算术-几何平均不等式 二、绝对值不等式 1、绝对值三角不等式 实数a 的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为 a 的点 A 到原点的距离： abbacacbba,Rcba,0c0c0 dc2,nNn2,nNn2aba b214sp33 ,,3abca b cRa b cabc定理如果，那么，当且仅当时，等号成立。即：三 个正数的算术平均不小于它们的几何平均。212122,,,,,nnnnnaaaaaa aanaa11把 基本不等式推 广 到 一般 情 形 ：对于n个正数a它们的算术平均不小于它们的几何平均，即： 当且仅当a时，等号成立。2 任意两个实数a,b 在数轴上的对应点分别为A、B，那么|a-b|的几何意义是A、B 两点间 的距离。 定理1 如果a, b 是实数，则 |a+b|≤|a|+|b| ， 当且仅当ab≥0 时，等号成立。（绝对值三角不等式） 如果a, b 是实数，那么 |a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b| 定理2 如果a, b, c 是实数，那么 |a-c|≤|a-b|+|b-c| ， 当且仅当(a-b)(b-c)≥0 时，等号成立。 2、绝对值不等式的解法 （1）|ax+b|≤c 和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法： ①换元法：令 t=ax+b, 转化为|t|≤c 和|t|≥c 型不等式，然后再求 x，得原不等式的解 集。 ②分段讨论法： ① 用绝对值不等式的几何意义 ② 零点分区间法 ③ 构造函数法 00||(0 )()a xba xba xbc ca xbca xbc 或00||(0 )()a xba xba xbc ca xbca xbc ...